Lösung.

Der Satz von Taylor, angewandt auf $ \mbox{$x_0 = 0$}$ und $ \mbox{$n\geq 0$}$, liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ mit

$ \mbox{$\displaystyle \exp(x) \; =\; \left(\sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!}\, x^k\right) + \frac{\exp(\xi)}{(n+1)!}\, x^{n+1}\; . $}$
Wegen
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{\exp(\xi)}{(n+1)!}\, x^{n+1}\right\vert\;\leq\; \frac{\exp(\vert x\vert)}{(n+1)!}\, \vert x\vert^{n+1}\; , $}$
und wegen $ \mbox{$\frac{\vert x\vert^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$, konvergiert die Partialsumme $ \mbox{$\sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!}\, x^k$}$ gegen $ \mbox{$\exp(x)$}$, d.h.
$ \mbox{$\displaystyle \exp(x) \; =\; \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}\, x^k\; . $}$
Hierbei folgt $ \mbox{$\frac{\vert x\vert^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$ aus der (z.B. nach dem Quotientenkriterium) bekannten Konvergenz eben jener Reihe $ \mbox{$\sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}\, x^k$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$, und aus der notwendigen Bedingung für Reihenkonvergenz, daß die zu summierende Folge gegen Null strebt.