Lösung.

Das zu maximierende Volumen beträgt $ \mbox{$V =  \pi r^2 h/3$}$, mit dem Grundkreisradius $ \mbox{$r$}$ und der Höhe $ \mbox{$h$}$.

(1)
Mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} V(r) & = & \pi r^2 h/3 \vspace*{1mm}... ...*{1mm}\\ & = & \frac{1}{3} \sqrt{F^2 r^2 - \pi^2 r^6} \; , \\ \end{array}$}$
wobei $ \mbox{$F$}$ die Oberfläche ohne Grundkreis bezeichnet, werden
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (V(r)^2)' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 r ... ... \\ (V(r)^2)'' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 - 30\pi^2 r^4)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir für $ \mbox{$r > 0$}$ einen Extremstellenkandidaten von $ \mbox{$V(r)^2$}$ (und damit auch von $ \mbox{$V(r)$}$) bei
$ \mbox{$\displaystyle r \; =\; 3^{-1/4}\sqrt{F/\pi} \; . $}$
Es ist dort $ \mbox{$(V(r)^2)'' < 0$}$, also liegt ein Maximum vor. Die Höhe des Maximalkegels ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle h \; =\; \sqrt{2} \cdot 3^{-1/4} \sqrt{F/\pi}\; , $}$
und wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \frac{h}{r} \; =\; \sqrt{2}\; . $}$

(2)
Mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} V(r) & = & \pi r^2 h/3 \vspace*{1mm}... ...{1mm}\\ & = & \frac{1}{3} \sqrt{F^2 r^2 - 2 F\pi r^4} \; , \\ \end{array}$}$
wobei $ \mbox{$F$}$ die Oberfläche bezeichnet, werden
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (V(r)^2)' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 r ... ... \\ (V(r)^2)'' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 - 24 F\pi r^2)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir für $ \mbox{$r > 0$}$ einen Extremstellenkandidaten von $ \mbox{$V(r)^2$}$ (und damit auch von $ \mbox{$V(r)$}$) bei
$ \mbox{$\displaystyle r \; =\; \frac{1}{2}\sqrt{F/\pi} \; . $}$
Es ist dort $ \mbox{$(V(r)^2)'' < 0$}$, also liegt ein Maximum vor. Die Höhe des Maximalkegels ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle h \; =\; \sqrt{2} \sqrt{F/\pi}\; , $}$
und wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \frac{h}{r} \; =\; 2\sqrt{2}\; . $}$