Lösung.

  1. Wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P_0(x) &=& 1\\ P_1(x) &=& 2^{-1}(x^... ...(2!)^{-1} \left((x^2-1)^2\right)^{(2)} \;=\; 2^{-1} (3x^2-1) \; . \end{array}$}$

  2. Wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P_n(0) &=& 2^{-n}(n!)^{-1}\left.\left... ...mbox{f\uml ur {$\mbox{$n$}$} ungerade}} \end{array} \right. \; . \end{array}$}$

  3. Induktion gibt mit $ \mbox{$(xf(x))^{(0)}=xf^{(0)}(x)$}$ und
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (xf(x))^{(n+1)} &=& \left(xf^{(n)}(x)... ...}(x)\right)'\vspace*{1mm}\\ &=& xf^{(n+1)}(x) + (n+1)f^{(n)}(x) \end{array}$}$
    das Resultat.

  4. Wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P_{n+1}(x) &=& 2^{-n-1}((n+1)!)^{-1}\... ...=& xP_n(x) + n2^{-n}(n!)^{-1} \left((x^2-1)^n\right)^{(n-1)} \; , \end{array}$}$
    und durch Ableiten ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P_{n+1}'(x) &=& xP_n'(x) + P_n(x) + n... ...)^n\right)^{(n)}\vspace*{1mm}\\ &=& xP_n'(x) + (n+1)P_n(x) \; . \end{array}$}$