Aufgabe.

  1. Zeige, daß die Sinusfunktion $ \mbox{$\sin:[-\pi/2,+\pi/2]\longrightarrow [-1,+1]$}$ bijektiv ist. Ihre Umkehrfunktion $ \mbox{$\arcsin:[-1,+1]\longrightarrow [-\pi/2,+\pi/2]$}$ heiße der Arcussinus.
  2. Zeige, daß die Tangensfunktion $ \mbox{$\tan:(-\pi/2,+\pi/2)\longrightarrow \mathbb{R}$}$ bijektiv ist. Ihre Umkehrfunktion $ \mbox{$\arctan:\mathbb{R}\longrightarrow (-\pi/2,+\pi/2)$}$ heiße der Arcustangens.
  3. Bestimme die Ableitungen von $ \mbox{$\arcsin$}$ und $ \mbox{$\arctan$}$.
  4. Bestimme die Potenzreihenentwicklungen von $ \mbox{$\arcsin$}$ und $ \mbox{$\arctan$}$ in $ \mbox{$x_0=0$}$ samt Konvergenzradien.
  5. Zeige, daß
    $ \mbox{$\displaystyle 2\arctan x \;=\; \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) $}$
    für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.