Beispiel.

  1. Sei $ \mbox{$f(x):=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$}$ eine Potenzreihe mit $ \mbox{$a_n\in\mathbb{C}$}$, $ \mbox{$x_0\in\mathbb{R}$}$ und Konvergenzradius $ \mbox{$R>0$}$. Berechne $ \mbox{$f^{(k)}(x_0)$}$.

  2. Sei $ \mbox{$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$}$ für $ \mbox{$x\in(x_0-r,x_0+r)$}$, wobei $ \mbox{$r>0$}$, $ \mbox{$a_n,b_n\in\mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$x_0\in\mathbb{R}$}$. Zeige, daß $ \mbox{$a_n=b_n$}$ stets.

  3. Sei
    $ \mbox{$\displaystyle f(x) \;:=\; \left\{\begin{array}{ll} (\sin x)/x & {\mbox... ...thbb{R}\backslash \{0\} \\ 1 & {\mbox{f\uml ur}}\ x=0\end{array}\right.\; . $}$
    Berechne $ \mbox{$f^{(n)}(0)$}$.