Alternativ kann man auch das Wurzelkriterium gebrauchen. Zunächst bemerken wir, daß aus
der schwachen Stirlingschen Formel
durch Substitution von
für
und
Potenzieren mit
folgt, daß
. Es wird
In der Tat ist mit der geometrischen Reihe
Man kann die Konvergenz der Reihe auch mit dem Majorantenkriterium nachweisen. Es ist nämlich
, und die geometrische Reihe
konvergiert.
Das Quotientenkriterium versagt hier, da der fragliche Limes superior gleich
, und der fragliche
Limes inferior gleich
ist.
Im Falle
mit
wollen wir das Dirichletkriterium verwenden mit
und
,
indem wir zeigen, daß die Partialsummenfolge
beschränkt ist, und daß die Folge
eine monotone Nullfolge ist.
Es wird
Für
betrachtet man
. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Divergenz der harmonischen
Reihe
die Divergenz der Reihe
.