Alternativ kann man auch das Wurzelkriterium gebrauchen. Zunächst bemerken wir, daß aus der schwachen Stirlingschen Formel durch Substitution von für und Potenzieren mit folgt, daß . Es wird
In der Tat ist mit der geometrischen Reihe
Man kann die Konvergenz der Reihe auch mit dem Majorantenkriterium nachweisen. Es ist nämlich , und die geometrische Reihe konvergiert.
Das Quotientenkriterium versagt hier, da der fragliche Limes superior gleich , und der fragliche Limes inferior gleich ist.
Im Falle mit wollen wir das Dirichletkriterium verwenden mit und , indem wir zeigen, daß die Partialsummenfolge beschränkt ist, und daß die Folge eine monotone Nullfolge ist. Es wird
Für betrachtet man . Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Divergenz der harmonischen Reihe die Divergenz der Reihe .