Nach 1. und 2. ist
gleichmäßig stetig auf
.
Ferner ist
stetig auf
, und
ist kompakt. Daher ist
auch gleichmäßig stetig auf
. Wir zeigen nun damit die gleichmäßige Stetigkeit von
auf der Menge
.
Es sei
vorgegeben. Dann gibt es also
so, daß
für alle
mit
und alle
mit
.
Wir setzen
. Seien nun
mit
, und ohne
Einschränkung sei
.
In den Fällen
oder
folgt dann sofort
.
Im Fall
gilt auch
und
, und somit wird
Damit ist die gleichmäßige Stetigkeit von
auf
gezeigt.
Vorsicht, das entsprechende Argument versagt, wenn man statt zweier vielmehr unendlich viele Intervalle zusammensetzen
möchte.