Wir geben eine Lösung, die zugleich eine Konstruktion von
darstellt (wodurch die Lösung etwas
aufwendiger wird). Es sei
. Da
eine obere Schranke von
ist, gilt
. Da
in
liegt,
gilt
.
Wir behaupten, daß
.
Wäre nämlich
, so setzen wir
. Beachte
. Wir berechnen
Damit ist
nicht möglich.
Wäre andererseits
, so setzen wir
und berechnen
Damit ist
eine obere Schranke von
, da
(
) impliziert, daß
, also
. Damit ist
auch nicht möglich, und es muß
gelten.
Wir schreiben
und merken an, daß aus
folgt, daß
existiert.
Zum Beweis von
merken wir an, daß
genau dann eine obere Schranke von
ist, wenn
eine untere Schranke von
ist.