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Campus Stuttgart als Graph einer Funktion
Markus Stroppel:

Der Campus der Universität Stuttgart als Beispiel für den Graphen einer Funktion

Wer lange und intensiv studiert, sollte zwischendurch für Entspannung sorgen. Wenn einen beim Spazierengehen an der frischen Luft aber wieder die Bilder aus der HM 2 einholen, kann man natürlich auch das noch nutzen, um die Anschauung zu den gerade gelernten Techniken auszubauen.

Wir sehen (mit den nötigen Zugeständnissen) die Oberfläche des Freigeländes als Graph einer Funktion in zwei Veränderlichen an. Die hier angebotenen Fotos sind vom Autor gemachte Originalaufnahmen oder Bearbeitungen von solchen. Die Grafiken wurden vom Autor erzeugt mit Maple.

Auf dem Campus finden sich

Lokale Maxima

lokales Maximum Draufsicht

Die betonierten Halbkugeln liefern offensichtlich lokale Maxima. In grober Näherung (und bei geeignet gewähltem Maßstab) können wir das Gelände in einer Umgebung einer solchen Halbkugel durch die folgende Funktion beschreiben: \[ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \colon \left(x\atop y\right) \mapsto \sqrt{\max\{4-x^2-y^2,0\}} \] Diese Funktion ist stetig, und sie ist partiell differenzierbar an allen Stellen in \( \mathbb{R}^2 \) außer denen, die auf dem Kreis \( \left\{ \left(\left. x\atop y\right) \,\right|\, x^2+y^2=4 \right\} \) liegen.

Wer jetzt lieber rechnen statt fühlen will, bitte sehr:
An den Stellen im Innern dieses Kreises ergibt sich der Gradient dann als \[ \nabla f\left(x\atop y\right) = \frac{-1}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\left(x\atop y\right) \] und wird offenbar genau dann zum Nullvektor, wenn \( \left(x\atop y\right) = \left(0\atop 0\right) \). Dass dort ein (lokales) Maximum vorliegt, sehen wir unmittelbar; wir können das aber auch daran ablesen, dass die Hesse-Matrix \[ \mathrm{H}f \left(x\atop y\right) = \frac1{\left(\sqrt{4-x^2-y^2}\right)^3}\pmatrix{y^2-4&-xy\\-xy&y^2-4} \] an der Stelle \(\left(0\atop0\right)\) zu \( \mathrm{H}f\left(0\atop0\right) = \frac12\left({-1\atop0}\,{0\atop-1}\right) \) und damit offensichtlich negativ definit wird.

Auf dem Beton ist durch eine Kreidemarkierung ein Tangentialvektor angedeutet, der in Richtung des steilsten Anstiegs der Fläche verläuft. Wenn man diesen (an den Punkt \(\left(a,b,f(a,b)\right)^\intercal\) angesetzten) Tangentialvektor orthogonal nach unten projiziert (in den "Grundriss"), erhält man den Gradienten der Funktion \(f\) im Punkt \(\left(a\atop b\right)\). In der rechten Grafik sieht man den Gradienten als roten Pfeil in der Grundebene.

lokales Maximum Draufsicht

Rechnerisch kann man diesen Tangentialvektor so ermitteln: Der Gradient \(\nabla f\left(a\atop b\right)\) wird an der Stelle \(\left(a,b,f(a,b)\right)^\intercal\) angesetzt. Damit erhalten wir die Grundseite eines Steigungsdreiecks (in der Skizze rechts hellblau angedeutet) für die fragliche Tangente. Die Steigung dieser Tangente ergibt sich aus der Richtungsableitung: Wir normieren \( v:= \frac1{|\nabla f\left(a\atop b\right)|} \nabla f\left(a\atop b\right) \) \[ \partial_v f\left(a\atop b\right) = v\bullet\nabla f\left(a\atop b\right) = \frac{\nabla f\left(a\atop b\right)\bullet\nabla f\left(a\atop b\right)} {\sqrt{\nabla f\left(a\atop b\right)\bullet\nabla f\left(a\atop b\right)}} = \sqrt{\nabla f\left(a\atop b\right)\bullet\nabla f\left(a\atop b\right)} = \left|\nabla f\left(a\atop b\right)\right| = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{4-x^2-y^2}} . \]

Speziell an der Stelle \(\left(a\atop b\right) = \left(1/3\atop-2/3\right)\), die in etwa der Kreidemarkierung entspricht, erhalten wir den Gradienten \( \nabla f\left(1/3\atop-2/3\right) = \frac1{\sqrt{31}}\left(-1\atop2\right) \) und damit die Steigung \(3\sqrt{5/31} \approx 1,2\).

Draufsicht Seitenansicht

Lokale Minima

Ein lokales Minimum (und das ist gut so), gekennzeichnet durch das Symbol   schachtgitter :

lokales Minimum

An der hier wieder durch das Symbol   schachtgitter   gekennzeichneten Stelle hätte man sich ebenfalls ein lokales Minimium erhofft - leider ging das schief.
Die farbliche Hervorhebung im rechten Bild deutet einen (durch die Wasseroberfläche eingenommenen) Teil einer Niveaumenge an.

kein lokales Minimum, leider kein lokales Minimum, Niveaumenge markiert

Sattelpunkte

Auch Sattelpunkte kann man (nach etwas intensiverer Suche) auf dem Campus entdecken (rechts im größeren Kontext, damit man das leichter wiederfindet):

Sattelpunkt Umgebung eines Sattelpunkts

Eine Funktion, deren Graph wenigsten einigermaßen dem Kunstwerk ähnelt, ist die folgende: \[ h \colon (0,4)\times(-2,2) \to \mathbb{R} \colon \left(x\atop y\right) \mapsto \sqrt{\max\left\{ \textstyle\left(\frac1{12}\,x^3-\frac12\,x^2+\frac34\,x+\frac13\right)^2-y^2 ,0 \right\}} \]

Kunstwerk, approximiert

Der Gradient von \(h\) erscheint einigermaßen widerlich: \[ \nabla h \left(x\atop y\right) = \frac1{\sqrt{x^6-12\,x^5+54\,x^4-102\,x^3+45\,x^2-36\,y^2+54\,x+9}} \left(\frac1{12}(6\,x^5-60\,x^4+216\,x^3-306\,x^2+90\,x+54)\atop {-6\,y}\right) \] - aber der Nenner ist uns bei der Suche nach Nullstellen des Gradienten zum Glück egal, und für die erste Komponente des Zählers finden wir die Nullstellen \(1\) und \(3\). Polynomdivision liefert dann: \[ 6\,x^5-60\,x^4+216\,x^3-306\,x^2+90\,x+54 = (x^3-6\,x^2+9\,x+3)(x-3)(x-1) \,. \] Im Definitionsbereich läuft \( x \) nur zwischen \(0\) und \(4\); dort hat der Faktor \( x^3-6\,x^2+9\,x+3 \) keine Nullstellen. Es ergeben sich also zwei kritische Stellen, nämlich \( \left(1\atop 0\right) \) und \( \left(3\atop 0\right) \). Unser Sattelpunkt liegt bei \( \left(3\atop 0\right) \).

Die Hesse-Matrix ersparen wir uns lieber ... hier sieht man noch die beiden waagrechten Tangentialebenen:

Kunstwerk, approximiert, mit zwei waagrechten Tangentialebenen

Sattelpunkte, die wirklich so aussehen wie unsere Maple-Grafiken, findet man auf dem Campus auch:

Sattelpunkt mir Raster: Banklehne

Mehr Sattelpunkte auf dem Campus kamen bei einem Wettbewerb Ende des Sommersemesters 2014 zu Tage.

IMPRESSUM. OPPOSSUM.