Ringe und ihre Moduln

Der Ring ℤ der ganzen Zahlen ist Anfang und Ziel der Ringtheorie. Unter allen Ringen ist ℤ dadurch ausgezeichnet, daß zu jedem Ring R genau ein Homomorphismus von ℤ nach R existiert. Durch diese externe Eigenschaft ist also die Struktur von ℤ, d. h. Addition und Multiplikation, eindeutig bestimmt. Wie Addition und Multiplikation aus der Anordnung von ℤ in natürlicher Weise hervorgehen, lesen Sie hier in Abschnitt 1.

Die externe Definition von ℤ impliziert, daß ℤ auf jeder abelschen Gruppe A in eindeutiger Weise skalar operiert,
d. h. ℤ wird durch Endomorphismen von A dargestellt. Die Darstellungen eines Ringes R heißen auch R-Moduln. Sie bilden zusammen mit den R-linearen Abbildungen die Kategorie R-Mod. Als R-Modul aufgefaßt, erzeugt R eine Unterkategorie R-Proj von R-Mod. Die abelsche Kategorie R-Mod und die Varietät R-Proj bestimmen sich gegenseitig. Ebenso korrespondiert R-Mod zur Varietät R-Inj der injektiven R-Moduln. Für R=ℤ entsprechen die unzerlegbaren Objekte von R-Inj den Punkten eines topologischen Raumes Spec ℤ, dem Spektrum von ℤ. Dieses besteht aus den Primzahlen und dem Häufungspunkt 0. Die Varietät ℤ-Proj wird von allen Matrixringen über ℤ erzeugt, d. h. darstellungstheoretisch ist der kommutative Ring ℤ zu einer Familie nicht-kommutativer Ringe äquivalent.

Bei einem nicht-kommutativen Ring R passiert es häufig, daß mehrere unzerlegbare Objekte von R-Inj als ein “Punkt” gedeutet werden müssen, der natürlich auch singulär sein kann. Mehr darüber finden Sie in [1]. Schon die nulldimensionalen Ringe, die nach E. Artin benannt werden, bilden eine recht umfangreiche Klasse. Einiges darüber steht in dem Lehrbuch von Auslander, Reiten und SmalØ: Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge 1995. Interessanterweise finden sich in den Modulkategorien artinscher Ringe Unterkategorien, deren Objekte sich wie Darstellungen höherdimensionaler Ringe verhalten (s. Abschnitt 5 von [2]). Mehr zur Struktur der Kategorien von Darstellungen und ihren Äquivalenzen untereinander erfahren Sie hier.

Ringe, die von einer Gruppe oder Lie-Algebra abgeleitet sind, besitzen eine Co-Multiplikation und gehören zur Klasse der Hopf-Algebren. Ihre Darstellungen erhalten dadurch eine zusätzliche Symmetrie und spielen z. B. in der Invariantentheorie eine wichtige Rolle. Mehr dazu finden Sie hier.

Von C. M. Ringel stammt eine Methode, unzerlegbare Darstellungen durch Betrachtung in einer anderen Kategorie einfach (d. h. irreduzibel) zu machen. Manchmal gelingt das auch durch Deformation, wie Sie hier nachlesen können.

[1] Invertible Ideals and Non-commutative Generalizations of Regular Rings, in: Algebra - Representation theory, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. NATO Science Ser. II, Math. Phys. Chem. 28 (2001), 351-378.

[2] Differentiation for orders and artinian rings, Algebr. Represent. Theory 7 (2004), 395-417