Lehre WS2016

Lehre Wintersemester 2016 Anne Henke

Vorlesung Elementare Zahlentheorie

Vorlesung: Di 15:45 - 17:15 in V57-7342, Mi 8:00 - 9:30 in V57-7527.

Übung: Di 17:30 - 19:00 in V57-7527.

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die elementare Zahlentheorie. Einige Stichworte zum möglichen Inhalt: Charakterisierung von Primzahlen, elementare Eigenschaften von Primzahlen, Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, elementare Teilbarkeitslehre, Euklidischer Algorithmus, grösste gemeinsame Teiler, rechnen modulo m, lineare Kongruenzen, kleiner Satz von Fermat, Eulers Theorem, Wilsons Theorem, chinesischer Restsatz, RSA-Verfahren, Primzahltests, Mersennesche Primzahlen, Carmichael Zahlen, Fermatzahlen Primitivwurzeln, polynomiale Kongruenzgleichungen, insbesondere quadratische Kongruenzen, quadratischen Reziprozitätsgesetz, Eulersche phi-Funktion, zahlentheoretische Funktionen, Faltung, Kettenbrüche, Pellsche Gleichung, Vier-Quadrate-Satz. Diese Vorlesung ist geeignet für Studierende ab dem 3.Semester.

Scheinkriterien: Regelmässige Teilnahme an den Übungen, regelmässiges Vorrechnen von Aufgaben in der Übung, lösen von mindestens 50 Prozent der Aufgaben.

Modulprüfung: mündliche Prüfungen finden in der letzten Semesterwoche (Dienstag 5/6.Block/Mittwoch 1./2.Block) statt.

Übungsblätter: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Literatur:

P. Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie, Springer.
H. Davenport: The Higher Arithmetic. Cambridge University Press.
O. Forster: Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg.
G.H. Hardy/E.M. Wright: An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press.
H. Hasse: Vorlesungen über Zahlentheorie, Springer.
K. Ireland/M. Rosen: A classical introduction to modern number theory, Springer.
F. Ischebeck: Einladung zur Zahlentheorie. BI Wissenschaftsverlag.
A.A. Jones/J.M. Jones: Elementary Number Theory, Springer.
A. Leutbecher: Zahlentheorie, Springer.
I. Niven/H.S Zuckerman: Einführung in die Zahlentheorie I, II. BI Wissenschaftsverlag.
R. Remmert/P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie, Birkhäuser.
P. Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, Springer.
H.E. Rose: A course in number theory, Oxford University Press.
K.H. Rosen: Elementary number theory and its applications, Addison-Wesley.
W. Scharlau/H. Opolka: Von Fermat bis Minkowski, Springer.
H. Scheid/A. Frommer: Zahlentheorie, Spektrum.

Proseminar Anwendungen zur Linearen Algebra

Zeit: Blocktermine, nach Vereinbarung. Erstes Treffen zur terminlichen Absprache findet am Mittwoch 19.Oktober um 9:40 statt, in V57-7.527.

Das Proseminar richtet sich an Studierende ab dem 3.Semester. Proseminare dienen dazu, verschiedene Arbeitsmethoden in der Mathematik zu erlernen: das selbstständige Erarbeiten von Texten, das Reden über Mathematik, das Erklären von Mathematik, das Aufschreiben von Mathematik. Thematisch werden wir uns mit einer Anwendung der Linearen Algebra beschäftigen, der projektiver Geometrie. Vorausgesetzt werden entsprechend Kenntnisse aus den Grundvorlesungen, insbesondere aus Linearer Algebra. Zur Vorbereitung auf das erste Treffen, lesen Sie bitte Fischer, Kapitel 3.1 und Hitchin, bis einschliesslich Kapitel 2.2.

Hier einige Stichworte zum Inhalt des Proseminars:

Verschiedene Definitionen des projektiven Raumes, homogene Koordinaten, projektive Unterräume, affine Räume eingebettet in projektive Räume (sogenannter projektiver Abschluss), Durchschnitt und Verbindung projektiver Räume, Dimensionsformel;
Projektive Abbildungen, Projektivität, projektiv unabhängig, projektive Basen, Existenz- und Eindeutigkeitssatz;
Projektive Koordinatensysteme, Beschreibung von Projektivitäten durch Matrizen, Beschreibung von projektiven Unterräumen durch Gleichungen, Homogenisieren und Dehomogenisierung von Gleichungssystemen;
Doppelverhältnis, Invarianz des Doppelverhältnisses unter Projektivität, Berechnung des Doppelverhältnisses, Doppelverhältnis als Verhältnis von Teilverhältnissen, Konstruktion des 4ten harmonischen Punktes, Theoreme von Pappos und Desargues, Semiprojektivität;
Hauptsatz der projektiven Geometrie und daraus folgend der Hauptsatz der affinen Geometrie, Dualitätsprinzip, Korrelation, Hyperebenenbüschel..., Quadriken, ....