Lehre Sommersemester 2018 Anne Henke
Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen
Dies ist eine Einführungsveranstaltung im Bereich der Darstellungstheorie von Gruppen und Algebren, einem Forschungsschwerpunkt am IAZ. Es handelt sich um eine Master-Vorlesung, die aber aufgrund einer spielerischen Kombinatorik gut als Vertiefungsmodul im Bachelorstudiengang geeignet ist.
Vorlesung: Di 11:30 - 13:00, Mi 08:00 - 09:30 jeweils in V57-7.527.
Übung: Di 15:45 - 17:15 in V57-7.331.
Die Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen ist ein Teilgebiet der Darstellungstheorie endlicher Gruppen, für das einerseits sehr konkrete Aussagen machbar sind, andererseits schwere offene Probleme existieren. Die symmetrische Gruppe vom Grad n har Ordnung n!. Ihre Konjugationsklassen sind durch die Partitionen von n parametrisiert. Nach einem allgemeinen Ergebnis der Darstellungstheorie von endlichen Gruppen sind damit die einfachen Darstellungen/Moduln durch die (p-regulären) Partitionen von n parametrisiert. Wir lernen eine explizite, kombinatorische Konstruktion dieser Moduln kennen, die auf natürliche Weise (anders als bei endlichen Gruppen im allgemeinen) von der parametrisierenden Partition abhängt. Über einem Körper der Charakteristik Null lässt sich die Dimension der einfachen Moduln (der sogenannte Spechtmoduln) mit der hübschen Hakenformel berechnen; ein erstes offenes Problem ist hingegen, dass über Körpern von Primcharakteristik die Dimension der einfachen Moduln im allgemeinen nicht bekannt ist. Spechtmoduln sind auch über Körpern von Primcharakteristik definiert. Dort sind sie im allgemeinen nicht mehr einfach. Es ist eine weitere offene Frage, aus welchen einfachen Moduln die Spechtmoduln in diesem Fall zusammengebaut sind.Voraussetzung: Darstellungen sind Homomorphismen von einem abstrakten algebraischen Objekt in die Matrizen, also konkrete Realisierungen eines abstrakten Objektes. Äquivalent zum Begriff der Darstellung ist der Begriff des Moduls, der eine Verallgemeinerung von Vektorrämen ist. Ein guter Hintergrund in Linearer Algebra und den Anfängen der Algebra ist daher für die Vorlesung erforderlich. Diese Vorlesung ist stark kombinatorisch geprägt (Young Tableaux und Algorithmen auf Young Tableaux wie jeu de taquin, RSK-Algorithmus etc), wobei hierbei keinerlei Vorkenntnisse erwartet werden. Es werden keine Vorkenntnisse in Darstellungstheorie benötigt.
Übungsblätter: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Literatur zur Vorlesung: Die Vorlesung folgt keinem Buch direkt, daher ist die Hauptquelle und beste Referenz die eigene Mitschrift der Vorlesung. Die folgenden Bücher dienen der Vertiefung der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe: