Lehre Sommersemester 2015 Anne Henke

Vorlesung Algebra

Wiederholungstermine: Klausureinsicht ist am Mittwoch, 17.2.2016 von 13:00-15:00 in Raum 7.527.

Vorlesung: Dienstags 11:30 und Mittwochs 9:45, jeweils in V57.06.

• Die Scheine zur Algebra-Vorlesung können im Sekretariat bei Frau Gangl abgeholt werden. Die Modulprüfung wird durch das Prüfungsamt organisiert, und findet voraussichtlich am 2.September 2015 statt. Eine weitere Modulprüfung gibt es im Frühjahr 2016.
• Eine Wiederholung der Scheinklausur wird im Dezember 2015 angeboten; hierbei werden alle Themenbereiche der Vorlesung (Gruppentheorie, Ringtheorie und Körpertheorie) geprüft. Zur Vorbereitung auf die Wiederholungsprüfung werden von Oktober bis Dezember Sprechstunden zur Algebravorlesung angeboten. Der genaue Termin und Tutor hierzu wird zu einem späteren Zeitpunkt bekannt gegeben.
• In der (Wiederholungs-)Scheinklausur und in den Modulprüfungen sind weder elektronische Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Smartphones etc, noch eigene Notizen oder Formelsammlungen erlaubt.

Übungen: Montags 14:00 Uhr in Raum 57-8.339; Freitags 8:00 in Raum 57-7.527; Freitags 9:45 in Raum 57-7.527; Freitags 14:00 Uhr in Raum 57-7.527; der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Woche.

• Schriftliche Aufgaben: Abgabe jeweils in den Übungen; Korrektur durch Tutoren und Rückgabe in den Übungen.
• Votier-Aufgaben: Zum Vortragen an der Tafel. Die Studierenden geben in den Übungen an (votieren), welche Aufgaben sie vortragen können. Die Tutoren entscheiden, wer vorträgt.

Lesevorschlag Gruppentheorie: Armstrong, bis Kapitel 22; Humphreys, bis Kapitel 18; Jantzen/Schwermer, Kapitel I, II.
Lesevorschlag Ringtheorie: Cameron, Kapitel 2; Fischer, Kapitel II; Jantzen/Schwermer, Kapitel III, IV.
Lesevorschlag Körpertheorie: Gathmann, Einführung in die Algebra, Vorlesungsskript, Universität Kaiserslautern; Fischer, Kapitel III; Jantzen/Schwermer, Kapitel V.

Inhalt:
Woche 1: Drehgruppe, Symmetriegruppe, Definition Gruppe, Eindeutigkeit von neutralem Element und von Inversen; zyklische Gruppe, Diedergruppe, Matrixgruppen, Symmetrische Gruppe; Multiplikationstafel; Gruppenhomomorphismus, Isomorphismus und einfache Eigenschaften von Homomorphismen; Definition Untergruppe und Beispiele, Kern, Bild von Homomorphismen, Schnitt von Untergruppen, Untergruppen von Z.

Woche 2: Untergruppe erzeugt von einer Teilmenge und Beispiele hierzu, insbesondere: zyklische Gruppen, Existenz nicht endlich erzeugter Gruppen, symmetrische Gruppen werden durch Transpositionen erzeugt, alternierende Gruppen durch 3-Zykel; Ordnung eines Gruppenelementes und ihre Eigenschaften; Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen, Index, Satz von Lagrange, Beispiele und Anwendungen, Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch, Ordnung eines Gruppenelementes teilt die Ordnung der Gruppe, Untergruppenverband; Satz von Cayley und Beispiele. Konjugierte Untergruppen, Normalteiler und Beispiele, normal nicht transitiv, Untergruppen vom Index zwei sind normal.

Woche 3: Schnitt normaler Untergruppen ist normal, Kern ist normal, Zentrum ist normal, Kommutatoruntergruppe ist normal, und Beispiele; Faktorgruppe und Beispiele; Untergruppenkorrespondenz, Homomorphiesatz, Isomorphiesätze, Beispiel zu direktem und semidirektem Produkt von Gruppen als Anwendung des Homomorphiesatzes.

Woche 4: Operation von Gruppe auf Menge, G-Menge und Beispiele; Stabilisator, Bahn, Bahnensatz und Beispiele; transitive Operation, Konjugationsklasse, Zentralisator, Klassengleichung, Zentrum einer p-Gruppe ist nicht trivial. Äusseres direktes Produkt, inneres direktes Produkt, Klassifikation von Gruppen der Ordnung p^2; Z_m x Z_n zyklisch genau dann wenn m,n teilerfremd; jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist Produkt zyklischer Gruppen, sowie Beispiele und Anwendungen.

Woche 5: p-Gruppe, p-Sylowgruppe und Beispiele; Sylowsätze, Satz von Cauchy; Klassifikation der Gruppen der Ordnung 15 und 2p für ungerade Primzahl p und 30. Einfache Gruppen und Beispiele, A_n einfach für n grösser gleich 5. Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Woche 6: Normalreihe, Kompositionsreihe; Existenz von Kompositionsreihen für endliche Gruppen, Satz von Jordan-Hölder und Beispiele; auflösbare Gruppen und verschiedene äquivalente Charakterisierungen (mittels Kompositionsfaktoren, mittels abelschen Subquotienten, mittels Kommutatorgruppen); diverse Beispiele. Definition Ring, Gruppe der Einheiten, Schiefkörper, Körper, Teilring und diverse Beispiele; Ringhomomorphismus, Rechts-/Links-/zweiseitige Ideale und diverse Beispiele.

Woche 7: Schnitt, Summe, Produkt von Idealen sind Ideale; endlich erzeugte Ideale, Hauptideale; Quotientenring; Beispiel Z_n, Eulersche phi-Funktion zum Zählen der Einheiten; Idealkorrespondenz, Homomophiesatz und Isomorphiesätze für Ringe, Chinesischer Restsatz; Integritätsbereich, Nullteiler und Beispiele; Nullteiler von Z_n; endliche Integritätsbereiche sind Körper; Quotientenkörper eines Ringes.

Woche 8: Gradformel für Polynomringe, R Integritätsbereich impliziert R[X] Integritätsbereich; Primideal, maximales Ideal und ihr Zusammenhang mit Integritätsbereichen und Körpern und Beispiele. Euklidische Ringe, euklidische Ringe sind Hauptidealringe, und Beispiele.

Woche 9: Primelement, unzerlegbare Elemente, faktorielle Ringe und Beispiele; Hauptidealringe sind faktoriell; grösster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches; Inhalt eines Polynoms, Gauss Lemma, Vergleich von Teilbarkeit im Polynomring R[X] und Teilbarkeit im Polynomring über dem Quotientenkörper von R, R faktoriell impliziert R[X] faktoriell; Faktorisieren von Polynomen, Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein, Reduktionskriterium und Beispiele.

Woche 10: Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein, Reduktionskriterium und Beispiele. Teilkörper, Körpererweiterungn, Körperhomomorphismus, Primkörper und Beispiele; Körperadjunktion, Ringadjunktion; Körpererweiterung als Vektorraum, Grad einer Körpererweiterung und Beispiele, Gradformel für Körperturm; algebraische und transzendente Elemente und Beispiele, Existenz transzendenter Zahlen.

Woche 11: Minimalpolynom und seine Eigenschaften, Charakterisierung einfacher algebraischer und transzendenter Körpererweiterungen. Charakterisierung algebraischer Körpererweiterungen. Diverse Beispiele. Existenz und Eindeutigkeit von Stammkörpern, Existenz und Eindeutigkeit von Zerfällungskörper.

Woche 12: Anwendungen zu Zerfällungskörpern: Satz vom primitiven Element, Klassifikation von endlichen Körpern. Galoisgruppe einer Körpererweiterung und ihre Eigenschaften, Beispiele. Galoissche Körpererweiterung für endliche Körpererweiterungen in Charakteristik Null: äquivalente Charakterisierungen, Galoisgruppe eines Polynoms, Körpererweiterungen vom Grad zwei sind galoissch, galoissch ist nicht transitiv.

Woche 13: Hauptsatz der Galoistheorie für endliche Körpererweiterungen in Charakteristik Null, Teil I; Beispiele. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Woche 14: Hauptsatz der Galoistheorie für endliche Körpererweiterungen in Charakteristik Null, Teil II; Beispiele. Auflösbarkeit von Polynomgleichungen.

Weitere Literatur zur Vorlesung:

• M.A. Armstrong, Groups and Symmetry. Springer Verlag, 1988.
• M. Artin, Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Grundstudium Mathematik. Birkhäuser Verlag, 1993.
• N. Bourbaki, Éléments de Mathématiques. Algèbre. Chap. 1 à 3, Masson, Paris, 1974; Chap. 4 à 7, Masson, Paris, 1981.
• S. Bosch, Algebra. Springer Verlag, 2009.
• L. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, 1988.
• P.J. Cameron, Introduction to Algebra. Oxford Science Publications, OUP, 2004.
• G. Fischer, Lehrbuch der Algebra. Vieweg Verlag; 1. Auflage 2008.
• The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.6.3, 2013 (http://www.gap-system.org).
• J.M. Howie, Fields and Galois Theory, Springer Verlag, 2005.
• J.F. Humphreys, A Course in Group Theory. OUP, 1996.
• N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, 3 Vols. Van Nostrand 1951, 1953, 1964. Reprint by Springer 1975 (Vol. 1 Basic concepts, Vol. 2 Linear Algebra, Vol. 3 Theory of fields and Galois theory).
• J.C. Jantzen und J. Schwermer, Algebra. Springer Verlag, 2005.
• E. Kunz, Algebra. Vieweg Studium 43, Aufbaukurs Mathematik. Vieweg Verlag, 1991.
• S. Lang, Algebra. Revised Third Edition. Graduate Texts in Mathematics vol. 211, Springer-Verlag, 2002.
• F. Lorenz, Einführung in die Algebra, 2 Bände. Spektrum Akademischer Verlag, 1996 und 1997.
• N. Perrin, Cours d'algèbre. Ellipses, Paris, 1996.

Bachelor Seminar in Darstellungstheorie

Voraussetzung: Gute Kenntnisse in Algebra. Grundkenntnisse in Darstellungstheorie. Geeignet für Studierende ab dem 5.Semester. Themen werden individuell vergeben. Nach Absprache kann das Seminar auch als Masterseminar gezählt werden. Eine Bachelorarbeit kann sich an das Seminar anschliessen.

Anmeldung: per Email an henke@mathematik.uni-stuttgart.de