M. Künzer Abgabe bis Fr 28.06.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 9

Aufgabe 34 (4 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei 𝔱 ⩽ 𝔤 ein maximaler Torus. Sei 𝔤′ eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei φ : 𝔤 ^{\overline{}^{∼}} 𝔤′ ein Isomorphismus von Liealgebren. Sei φ(𝔱) =: 𝔱′. Man zeige, daß 𝔱′ ⩽ 𝔤′ ein maximaler Torus ist. Aufgabe 35 (4+3+4 Punkte)

(1) Man bestimme zwei verschiedene maximale Tori in 𝔰𝔩_{2}(C).

(2) Man bestimme Φ(𝔰𝔩_{2}(C)). Man bestimme eine Wurzelraumzerlegung von 𝔰𝔩_{2}(C).

(3) Man bestätige Bemerkung 89 in diesem Falle. Aufgabe 36 (8 Punkte) Man zeige oder widerlege. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei 𝔱 ⩽ 𝔤 ein maximaler Torus.

(1) Es ist 𝔱 = 𝔠_{𝔤}(𝔱).

(2) Es ist 𝔠_{𝔤}(𝔱) = 𝔫_{𝔤}(𝔱).

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