M. Künzer Abgabe bis Fr 07.06.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 7

Aufgabe 25 (6 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei M = (M, φ) ein endlichdimensionaler 𝔤-Modul. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei 𝔞 ⊴ 𝔤. Es ist [𝔞, M] ein 𝔤-Teilmodul von M.

(2) Sei 𝔤 auflösbar. Sei M ≠ 0. Es ist [𝔤^{(1)}, M] ⊂ M.

(3) Sei 𝔤 auflösbar. Sei M einfach. Es ist dim M = 1. Aufgabe 26 (4 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei κ : 𝔤 × 𝔤 \overline{}K bilinear mit κ(g, [h, k]) = κ([g, h], k) für g, h, k ∈ 𝔤. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist f_{κ} : 𝔤 \overline{}𝔤^{∗}, g \overline{}(x \overline{}κ(g, x)) eine 𝔤-lineare Abbildung.

(2) Sei 𝔤 ⩽ 𝔤𝔩(V) für einen endlichdimensionalen Vektorraum V. Sei 𝔤 einfach. Sei tr(g^{2}) ≠ 0 für ein g ∈ 𝔤. Dann gibt es ein λ ∈ K mit κ(g, h) = λ tr(g ∘ h) für g, h ∈ 𝔤.

Aufgabe 27 (6 Punkte) Man zeige, daß die Definition des Casimirelementes in Lemma 63 nicht von der Wahl einer Basis der Liealgebra abhängt. Aufgabe 28 (6 Punkte) Man berechne das Casimir-Element c_{φ} des 𝔰𝔩_{3}(C)-Moduls C^{3×1}, ausgestattet mit dem Morphismus φ : 𝔰𝔩_{3}(C) [figure] 𝔤𝔩_{3}(C) = 𝔤𝔩(C^{3×1}), einmal direkt und einmal mittels Bemerkung 67.(3).

           pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/