M. Künzer Abgabe bis Fr 31.05.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 6

Aufgabe 20 (2 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine halbeinfache endlichdimensionale Liealgebra. Man zeige 𝔤^{(1)} = 𝔤. (Hinweis: Lemma 53.(1).)

Aufgabe 22 (6 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Sei 𝔟 ⊴ 𝔤. Man zeige ohne Verwendung von Lemma 53.

(1) Sei 𝔟 halbeinfach. Es ist 𝔤 = 𝔟 ⊕ 𝔟^{⊥}. (Hinweis: Satz 50, Aufgabe 21.)

(2) Sei 𝔤 halbeinfach. Es ist 𝔤 = 𝔟 ⊕ 𝔟^{⊥}.

(3) Sei 𝔤 halbeinfach. Sei 𝔞 ⊴ 𝔟 ⊴ 𝔤. Es ist 𝔞 ⊴ 𝔤. (Hinweis: (2).)

Aufgabe 23 (2 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine halbeinfache Liealgebra. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Sei 𝔤 ^{\overline{}^{φ}} 𝔤𝔩(V) ein Morphismus von Liealgebren. Man zeige φ(𝔤) ⊆ 𝔰𝔩(V). (Hinweis: tr Morphismus.)

Aufgabe 24 (2+1+2+3+4+1+3+2 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine Liealgebra.

(1) Gegeben sei ein 𝔤-Modul M sowie ein Teilmodul M′ ⊆ M. Man zeige, daß M/M′ zu einem 𝔤-Modul wird via [g, m + M′] := [g, m] + M′ für g ∈ 𝔤 und m ∈ M.

(2) Sei M ^{\overline{}^{f}} N ein Isomorphismus von 𝔤-Moduln. Man zeige, daß auch M ^{\overline{}^{f^{−1}}} N ein Isomorphismus von 𝔤-Moduln ist.

(3) Sei M ^{\overline{}^{f}} N eine 𝔤-lineare Abbildung zwischen 𝔤-Moduln. Zu zeigen ist folgendes. Es sind Kern f ⊆ M und Im f ⊆ N Teilmoduln. Es gibt den Isomorphismus M/ Kern f ^{\overline{}^{∼}} Im f, m + Kern f \overline{}f(m) von 𝔤-Moduln.

(4) Sei 𝔤 nichtabelsch. Zu zeigen ist folgendes.

Genau dann ist der reguläre 𝔤-Modul 𝔤 einfach, wenn 𝔤 einfach als Liealgebra ist.

(5) Sei M ein endlichdimensionaler 𝔤-Modul. Man zeige, daß M genau dann halbeinfach ist, wenn zu jedem Teilmodul M′ ⊆ M ein Teilmodul M′′ ⊆ M mit M = M′ ⊕ M′′ existiert.

(6) Sei K algebraisch abgeschlossen. Sei M ein endlichdimensionaler einfacher 𝔤-Modul. Sei M ^{\overline{}^{f}} M eine 𝔤-lineare Abbildung. Man zeige, daß f = λ id_{M} ist für ein λ ∈ K. (Hinweis: f hat Eigenwert.)

(7) Seien 𝔤-Moduln M und N gegeben. Man definiere auf dem Raum der K-linearen Abbildungen Hom(M, N) wie folgt eine 𝔤-Modulstruktur. Gegeben g ∈ 𝔤 und f ∈ Hom(M, N), so bilde [g, f] ∈ Hom(M, N) ein Element m ∈ M ab nach [g, f](m) := [g, f(m)] − f([g, m]). Man zeige, daß Hom(M, N), zusammen mit 𝔤 \overline{}𝔤𝔩(Hom(M, N)), g \overline{}[g, −], ein 𝔤-Modul ist.

(8) Sei M ein endlichdimensionaler 𝔤-Modul. Sei M^{∗} := Hom(M, K). Man zeige, daß M isomorph ist zu M^{∗∗} vermöge e : M → M^{∗∗}, m ↦ (f ↦ f(m)).

       pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/