M. Künzer Abgabe bis Fr 24.05.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 5

Aufgabe 17 (6 Punkte) Man zeige oder widerlege. Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra.

(1) Sei 𝔞 ⊴ 𝔤. Es ist κ_{𝔞} = κ_{𝔤}|_{𝔞×𝔞}.

(2) Sei 𝔥 ⩽ 𝔤. Es ist κ_{𝔥} = κ_{𝔤}|_{𝔥×𝔥}. Aufgabe 17.5 (6 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 := 𝔤𝔩_{2}^{⩾}(K).

(1) Man bestimme eine Grammatrix von κ_{𝔤} bezüglich einer Basis von 𝔤.

(2) Man bestimme κ_{𝔤}(𝔤^{(1)}, 𝔤).

(3) Man bestimme rad κ_{𝔤} und 𝔯𝔞𝔡(𝔤). Aufgabe 18 (8 Punkte) Man zeige oder widerlege. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale Liealgebra. Es werde (−)^{⊥} bezüglich κ_{𝔤} gebildet.

(1) Ist κ_{𝔤}(𝔤, 𝔤) = 0, so ist 𝔤 nilpotent. (Hinweis: [g, h] = h, [g, k] = ik, [h, k] = 0.)

(2) Es ist rad κ_{𝔤} = 𝔯𝔞𝔡(𝔤).

(3) Sei 𝔥 ⩽ 𝔤. Es ist 𝔥 auflösbar genau dann, wenn κ_{𝔤}(𝔥, 𝔥^{(1)}) = 0 ist.

(4) Sei 𝔥 ⩽ 𝔤. Es ist 𝔥^{⊥} ⩽ 𝔤. Aufgabe 19 (3 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Sei x ∈ 𝔤𝔩(V). Ist tr(x ∘ w) = 0 für alle w ∈ 𝔤𝔩(V), so zeige man, daß x nilpotent ist; einmal mit Lemma 48, einmal ohne.

           pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/