M. Künzer Abgabe bis Fr 17.05.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 4

Aufgabe 14 (3 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine endlichdimensionale nilpotente Liealgebra. Sei 0 ≠ 𝔞 ⊴ 𝔤. Man zeige 𝔞 ∩ 𝔷(𝔤) ≠ 0. (Hinweis: Lemma 37 auf Bild von 𝔤 \overline{}𝔤𝔩(𝔞).)

Aufgabe 15 (3 Punkte) Sei K ein Körper. Seien 𝔤 und 𝔥 halbeinfache endlichdimensionale Liealgebren. Man zeige, daß 𝔤 ⊕ 𝔥, mit der Lieklammer wie in Bemerkung 15, halbeinfach ist.

Aufgabe 16 (12 Punkte) Zu zeige oder zu widerlegen. Sei K ein Körper. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Sei 𝔤 ⩽ 𝔤𝔩(V).

(1) Ist 𝔤 nilpotent, so besteht 𝔤 aus nilpotenten Endomorphismen.

(2) Besteht 𝔤 aus nilpotenten Endomorphismen, so ist 𝔤 nilpotent.

(3) Sei 𝔥 ⩽ 𝔤. Ist 𝔤 halbeinfach, so ist 𝔥 halbeinfach.

(4) Sei 𝔤 halbeinfach. Sei g ∈ 𝔤. Dann ist g halbeinfach.

(5) Sei jedes Element von 𝔤 halbeinfach. Dann ist 𝔤 halbeinfach.

(6) Ist g ∈ 𝔤, so ist auch g_{gs} ∈ 𝔤.

Aufgabe 21 (3 Punkte) Sei K ein Körper. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Sei W ⊆ V ein Teilraum. Sei b : V × V \overline{}K eine symmetrische Bilinearform. Sei b|_{W ×W} nichtausgeartet. Man zeige V = W ⊕ W^{⊥}.

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