M. Künzer Abgabe bis Fr 10.05.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 3

Aufgabe 9 (2+2+4 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei V ^{\overline{}^{f}} W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Seien x ∈ End V und y ∈ End W mit f ∘ x = y ∘ f. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei f surjektiv. Ist x halbeinfach, so auch y.

(2) Sei f injektiv. Ist y halbeinfach, so auch x.

(3) Es ist f ∘ x_{gs} = y_{gs} ∘ f und f ∘ x_{gn} = y_{gn} ∘ f. Aufgabe 10 (3+3+1 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Schreibe n := dim V. Sei m ⩾ 0. Seien x_{1} , …, x_{m} ∈ End V halbeinfach mit x_{i} ∘ x_{j} = x_{j} ∘ x_{i} für i, j ∈ [1, m]. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es gibt eine Basis (v_{1} , …, v_{n}) von V so, daß v_{k} Eigenvektor von x_{i} ist für alle k ∈ [1, n] und alle i ∈ [1, m].

(2) Jedes Element von ⟨x_{1} , …, x_{m}⟩ ist halbeinfach.

(3) Es gibt K, V wie oben und halbeinfache Elemente y, z ∈ End V so, daß y + z nicht halbeinfach ist.

Aufgabe 11 (3 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine Liealgebra. Seien 𝔞, 𝔟 ⊴ 𝔤. Man zeige 𝔞 ∩ 𝔟, 𝔞 + 𝔟, [𝔞, 𝔟] ⊴ 𝔤. Ist stets 𝔞 ∩ 𝔟 = [𝔞, 𝔟] ? Aufgabe 13 (3+3+2+2+3 Punkte) Sei K ein Körper. Man untersuche die Liealgebra 𝔤 auf Auflösbarkeit und Nilpotenz.

(1) Sei n ⩾ 2. Sei 𝔤 := 𝔤𝔩_{n}^{>}(K) ⩽ 𝔤𝔩_{n}(K) die Teilalgebra der strikten oberen Dreiecksmatrizen.

(2) Sei n ⩾ 2. Sei 𝔤 := 𝔤𝔩_{n}^{⩾}(K) ⩽ 𝔤𝔩_{n}(K) die Teilalgebra der oberen Dreiecksmatrizen.

(3) Sei char K = 2. Sei 𝔤 := 𝔰𝔩_{2}(K).

(4) Sei char K = 3. Sei 𝔤 := 𝔰𝔩_{3}(K). Ist 𝔤 halbeinfach? (Hinweis: Lösung zu Aufgabe 3.)

(5) Sei char K = 0. Sei 𝔤 := 𝔤𝔩_{2}(K). Bestimme auch alle Ideale von 𝔤, sowie 𝔯𝔞𝔡(𝔤).

           pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/