M. Künzer Abgabe bis Fr 03.05.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 2

Aufgabe 3 (8 Punkte) Sei K ein Körper. Sei n ⩾ 0. Wann ist 𝔰𝔩_{n}(K) einfach ? Aufgabe 4 (3+12+2+2 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine Liealgebra.

(1) Man zeige.

Ist 𝔞 ⊴ 𝔤, so ist der Faktorraum 𝔤/𝔞 vermöge [g + 𝔞, h + 𝔞] := [g, h] + 𝔞 eine Liealgebra. Die Restklassenabbildung 𝔤 ^{^{ρ = ρ_{𝔤,𝔞}}\overline{}}𝔤/𝔞, g \overline{}g + 𝔞 ist ein Morphismus.

(2) Man zeige oder widerlege.

Sei 𝔤 ^{\overline{}^{φ}} 𝔥 ein Morphismus von Liealgebren. Sei 𝔤̃ ⩽ 𝔤. Sei 𝔞̃ ⊴ 𝔞 ⊴ 𝔤. Sei 𝔥̃ ⩽ 𝔥.

(i) Es ist φ^{−1}(𝔥̃) ⩽ 𝔤. Ist 𝔥̃ ⊴ 𝔥, dann ist φ^{−1}(𝔥̃) ⊴ 𝔤.

(ii) Es ist φ(𝔤̃) ⩽ 𝔥 und φ(𝔞) ⊴ 𝔥.

(iii) Es ist 𝔞̃ ⊴ 𝔤.

(iv) Es ist 𝔞 ⊆ Kern φ genau dann, wenn es einen Morphismus φ̄ mit φ̄ ∘ ρ_{𝔤,𝔞} = φ gibt.

(v) Es ist (𝔤̃ + 𝔞)/𝔞 ≃ 𝔤̃/(𝔤̃ ∩ 𝔞) .

(vi) Es ist 𝔷(𝔞) ⊴ 𝔤.

(3) Sei 𝔤 ^{\overline{}^{φ}} 𝔥 ein Morphismus von Liealgebren.

Man zeige den Isomorphismus 𝔤/Kern φ \overline{}^{φ̄}_{∼} φ(𝔤), g + Kern φ \overline{}φ(g).

(4) Sei 𝔞 ⊴ 𝔤. Sei T_{𝔤,𝔞} := { 𝔥 : 𝔞 ⩽ 𝔥 ⩽ 𝔤 }. Sei T_{𝔤/𝔞} := { 𝔨 : 𝔨 ⩽ 𝔤/𝔞 }. Man zeige die Bijektion

[figure: T_{𝔤,𝔞}; T_{𝔤/𝔞}; 𝔥; ρ(𝔥); ρ^{−1}(𝔨); 𝔨]

Man zeige, daß diese Bijektion auf die Teilmenge der jeweiligen Ideale einschränkt. Aufgabe 5 (2+2 Punkte) Sei K ein Körper. Sei 𝔤 eine Liealgebra. Sei V ⊆ 𝔤 ein Teilraum. Sei 𝔥 ⩽ 𝔤. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist 𝔫_{𝔤}(V) ⩽ 𝔤. Es ist 𝔥 ⊴ 𝔫_{𝔤}(𝔥) ⩽ 𝔤.

(2) Es ist 𝔠_{𝔤}(V) ⩽ 𝔤. Aufgabe 8 (3 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Seien f_{1}(T), …, f_{n}(T) ∈ K[T] paarweise ohne gemeinsame Nullstelle, wobei n ⩾ 0. Seien r_{1}(T), …, r_{n}(T) ∈ K[T]. Man zeige, daß ein r(T) ∈ K[T] existiert mit r(T) ≡_{f_{i}(T)} r_{i}(T) für alle i ∈ [1, n].

           pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/