M. Künzer Abgabe bis Fr 12.07.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 11

Aufgabe 39 (10 Punkte)

(1) Man bestimme das zu 𝔰𝔩_{4}(C) gehörige Wurzelsystem (E, Ψ). Skizze! Aufgabe 40 (3+1+2+2 Punkte) Sei E = (E, ⌊−, =⌋) ein euklidischer Raum. Für x ∈ E ∖ {0} sei

x^{∨} := \frac{2}{⌊x,x⌋} x .

Sei Φ ein Wurzelsystem in E.

(1) Man zeige, daß auch Φ^{∨} := { t^{∨} : t ∈ Φ} ein Wurzelsystem in E ist, genannt das zu Φ duale Wurzelsystem.

(2) Man zeige Φ^{∨∨} = Φ.

(3) Sei (E, Φ) das gemäß Aufgabe 38.(1) zu 𝔰𝔩_{3}(C) gehörige Wurzelsystem.

Ist Φ ≃ Φ^{∨}?

(4) Sei (E, Φ) das gemäß Aufgabe 38.(2) zu 𝔬(C, b) gehörige Wurzelsystem.

Ist Φ ≃ Φ^{∨}? Aufgabe 41 (10 Punkte)

(1) Sei (E, Φ) das gemäß Aufgabe 38.(1) zu 𝔰𝔩_{3}(C) gehörige Wurzelsystem. Man zeige, daß W_{E,Φ} isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{3} ist.

(2) Sei (E, Φ) das gemäß Aufgabe 38.(2) zu 𝔬(C, b) gehörige Wurzelsystem, b wie in Aufgabe 30. Man zeige, daß W_{E,Φ} isomorph zur Untergruppe D_{8} := ⟨⟨(1, 3), (1, 2)(3, 4)⟩⟩ von Ordnung 8 in der S_{4} ist.

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