M. Künzer Abgabe bis Fr 05.07.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 10

Aufgabe 37 (2+2 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char K = 0. Sei 𝔤 eine halbeinfache endlichdimensionale Liealgebra. Sei 𝔱 ⩽ 𝔤 ein maximaler Torus. Man zeige.

(1) Eine Teilalgebra von 𝔤, die 𝔤_{σ} enthält für alle σ ∈ Φ(𝔤), ist bereits gleich 𝔤.

(2) Seien σ, ρ ∈ Φ(𝔤). Ist auch σ + ρ ∈ Φ(𝔤), so ist [𝔤_{σ} , 𝔤_{ρ}] = 𝔤_{σ+ρ}. Aufgabe 38 ((2+3+5)×2 Punkte) Sei K = C. Sei 𝔤 eine halbeinfache endlichdimensionale Liealgebra.

(i) Man bestimme einen maximalen Torus 𝔱 in 𝔤. (ii) Man bestimme die Menge der Wurzeln Φ(𝔤) ⊆ 𝔱^{∗}. (iii) Sei E = 𝔱_{R} = _{R}⟨ t_{χ} : χ ∈ Φ(𝔤) ⟩, ausgestattet mit der Bilinearform κ_{𝔤}|_{E×E}^{R} .

Man bestimme eine Orthonormalbasis von E und schreibe t_{χ} in dieser Basis für alle χ ∈ Φ(𝔤). Skizze ! Man bestätige Lemma 102.(1) in 2 Fällen. Man bestätige Lemma 101.(1, 2) in 2 Fällen.

(1) Sei 𝔤 = 𝔰𝔩_{3}(C).

(2) Sei 𝔤 = 𝔬(C, b) ; b wie in Aufgabe 30. Aufgabe 43 (4 Punkte) Sei m ⩾ 0. Sei K ein Körper mit |K| ⩾ m. Sei V ein Vektorraum. Sei U_{i} ⊂ V ein Teilraum für i ∈ [1, m]. Man zeige ⋃_{i∈[1,m]} U_{i} ⊂ V.

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