M. Künzer Abgabe bis Fr 26.04.19

Liealgebren, SoSe 19

Blatt 1

Aufgabe 1 (8 Punkte) Sei K ein Körper.

(1) Sei 𝔤 = K^{3×1}, ausgestattet mit [ (\begin{matrix}α \\ β \\ γ \end{matrix}) , (\begin{matrix}α′ \\ β′ \\ γ′ \end{matrix}) ] := (\begin{matrix}βγ′−γβ′ \\ γα′−αγ′ \\ αβ′−βα′ \end{matrix}) für (\begin{matrix}α \\ β \\ γ \end{matrix}) , (\begin{matrix}α′ \\ β′ \\ γ′ \end{matrix}) ∈ K^{3×1}.

Man zeige, daß 𝔤 eine Liealgebra ist.

(2) Sei n ⩾ 0. Sei a ∈ K^{n×n}. Sei 𝔬(K, a) := {g ∈ 𝔤𝔩_{n}(K) : g^{t} a = −ag}.

Man zeige 𝔬(K, a) ⩽ 𝔤𝔩_{n}(K).

(3) Sei 𝔥 ^{\overline{}^{f}} 𝔨 ein Isomorphismus von Liealgebren.

Man zeige, daß auch 𝔨 ^{\overline{}^{f^{−1}}} 𝔥 ein Isomorphismus ist.

(4) Sei 𝔤 wie in (1). Sei char(K) ≠ 2. Man zeige 𝔤 ≃ 𝔬(K, E_{3}). Aufgabe 2 (2+4 Punkte) Sei K ein Körper.

(1) Sei A eine Algebra. Sei

𝔡𝔢𝔯(A) := {d ∈ 𝔤𝔩(A) : d(a · b) = d(a) · b + a · d(b) für a, b ∈ A} ⊆ 𝔤𝔩(A) der Teilraum der Derivationen. Man zeige 𝔡𝔢𝔯(A) ⩽ 𝔤𝔩(A).

(2) Sei K^{2×2} mit der Matrixmultiplikation ausgestattet. Bestimme eine Basis von 𝔡𝔢𝔯(K^{2×2}).

Falls char K ≠ 2, für welches n ⩾ 0 ist 𝔡𝔢𝔯(K^{2×2}) ≃ 𝔰𝔩_{n}(K) ?

       pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/lexmath/kuenzer/lalg19/