M. Künzer

Ergänzungen zur Höheren Mathematik, SoSe 19

Blatt 5

Aufgabe 10 Sei f : ℝ^{+} → ℝ : x ↦ 3 ln(x) − x.

(1) Man skizziere den Graphen von f.

(2) Mit Φ(x) := x − \frac{f(x)}{f′(x)} bestimme man Φ′′(x).

(3) Man bestimme a < a′ < b′ < b und eine Anfangsstelle c ∈ [a, b], für welche das Newtonverfahren sicher gegen eine Nullstelle z ∈ [1, 3] konvergiert.

(4) Man führe für diese Anfangsstelle c das Newtonverfahren (erster Ordnung) durch.

(5) Man führe für diese Anfangsstelle c das Newtonverfahren zweiter Ordnung durch.

(6) Man führe für diese Anfangsstelle c das Newtonverfahren dritter Ordnung durch.

(7) Man vergleiche die Konvergenzgeschwindigkeiten in (4, 5, 6). Aufgabe 11 Sei f : ℝ → ℝ : x ↦ sin(x). Folgende Fragen seien experimentell zu untersuchen, nicht mit abgesicherten Aussagen.

(1) Gibt es eine Anfangsstelle c ∈ ℝ, für welche das Newtonverfahren zweiter Ordnung gegen die Nullstelle z = 0 konvergiert, das Newtonverfahren erster Ordnung aber nicht?

(2) Gibt es eine Anfangsstelle c ∈ ℝ, für welche das Newtonverfahren dritter Ordnung gegen

die Nullstelle z = 0 konvergiert, das Newtonverfahren zweiter Ordnung aber nicht?

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