M. Künzer

Ergänzungen zur Höheren Mathematik, SoSe 19

Blatt 1

Aufgabe 1 Sei n ⩾ 1. Seien B, C ∈ ℂ^{n×n}.

(1) Formen wir B mittels Zeilenumformungen zu einer Matrix B̃ um, so gibt es eine invertierbare Matrix S ∈ ℂ^{n×n} mit SB = B̃.

(2) Wir stehen vor der Aufgabe, eine Basis des Kerns von BC zu bestimmen, d.h. eine Basis des Lösungsraums des homogenen LGS zu BC. Man begründe: Es ist der Kern von BC gleich dem Kern von B̃C. Wir dürfen also im Produkt BC die bereits umgeformte Matrix B̃ an die Stelle von B treten lassen. Hierbei dürfen noch Nullzeilen von B̃ weggelassen werden.

Aufgabe 2 Sei

A := (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 2 \end{matrix})

(1) Man bestimme das charakteristische Polynom χ_{A}(t).

(2) Man bestimme den Eigenwert λ_{1} von A samt algebraischer Vielfachheit.

(3) Sei an A_{(1)} := A − λ_{1}E_{3} erinnert.

Man bestimme eine Basis des Eigenraums Kern(A_{(1)}). Man ergänze diese Basis zu einer Basis des Raums Kern(A_{(1)}^{2}). Man ergänze diese Basis zu einer Basis des Raums Kern(A_{(1)}^{3}). Etc. Für welchen Exponent s ⩾ 1 ist Kern(A_{(1)}^{s}) = Kern(A_{(1)}^{s+1}) ? Man bestimme eine Basis des Hauptraums H_{A}(λ_{1}).

Aufgabe 3 Sei

A := (\begin{matrix}2 & −3 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & −2 & 0 & 0 & 4 \\ −2 & 1 & −1 & 3 & −1 \\ 1 & −1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & −1 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

(1) Man bestimme das charakteristische Polynom χ_{A}(t).

(2) Man bestimme die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{m} von A samt algebraischer Vielfachheiten.

(3) Für jeden Eigenwert λ_{k} von A verfahre man wie folgt.

Man bestimme eine Basis des Eigenraums Kern(A_{(k)}). Man ergänze diese Basis zu einer Basis des Raums Kern(A_{(k)}^{2}). Man ergänze diese Basis zu einer Basis des Raums Kern(A_{(k)}^{3}). Etc. Für welchen Exponent s ⩾ 1 ist Kern(A_{(k)}^{s}) = Kern(A_{(k)}^{s+1}) ? Man bestimme eine Basis des Hauptraums H_{A}(λ_{k}).

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