Computerpraktikum

Block I

Der symmetrische verschränkte Modul

Matthias Künzer Universität Stuttgart 8. Dezember 2017

Inhalt

1 Magma  5
2 Verschränkte Moduln  5
2.1 Automorphismengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Der Begriff des verschränkten Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Konstruktion von Gruppen  11
3.1 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Kranzprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Die Kategorie zu einem verschränkten Modul  13
4.1 Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Konstruktion einer Kategorie zu einem verschränkten Modul . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Der symmetrische verschränkte Modul zu einer Kategorie  17
5.1 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Konstruktion des symmetrischen verschränkte Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4 Ein etwas zu großes Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Die Einbettung von Cayley-Truong via Magma  35
7 Aufgabenstellung  39

Vorwort

Eine Gruppe bettet ein in die symmetrische Gruppe ihrer unterliegenden Menge, dank eines Lemmas von Cayley [1]. Eine Gruppe entspricht einem topologischen Raum mit nur Homotopiegruppe π_{1} . Ein verschränkter Modul entspricht einem topologischen Raum mit nur Homotopiegruppen π_{1} und π_{2} . Unter dem englischen Begriff eines Crossed modules wurden solche Objekte zu diesem Zweck von J.H.C. Whitehead eingeführt [4]. Ein verschränkter Modul bettet ein in den symmetrischen verschränkten Modul seiner unterliegenden Kategorie, dank eines Lemmas von Truong [3]. In diesem Block des Computerpraktikums soll diese Einbettung untersucht werden. Dieser Begleittext wird während des Semesters bei Bedarf ergänzt oder geändert. Vorausgesetzt wird der Begriff einer Gruppe, wie er etwa in der Linearen Algebra vermittelt wird. Ein Dank geht an Sema Bahadir, Sonja Eisenreich und Heiko Mögerle für die Korrektur von Fehlern. Ein Dank geht an Monika Truong für Erklärungen zu verschränkten Moduln. Ein Dank geht an Sebastian Thomas für die zugrundeliegende Idee. Für weitere Hinweise auf Fehler und Unklarheiten bin ich dankbar.

Stuttgart, Herbst 2017 Matthias Künzer

Konventionen

• Für a, b ∈ Z sei [a, b] := { z ∈ Z : a ⩽ z ⩽ b }.

• Wir schreiben Abbildungen rechts. (^{1}) Das soll folgendes bedeuten. Seien X, Y, Z Mengen. Seien X ⟶^{f} Y ⟶^{g} Z Abbildungen. Ist x ∈ X, so schreiben wir xf ∈ Y für das Bild von x unter f. Wir schreiben X ⟶^{f ▲ g} Z oder kurz X ⟶^{fg} Z für das Kompositum von f und g. I.e. x(fg) := (xf)g für x ∈ X.

1Auch Magma arbeitet so.

• Seien X, X′, Y, Y′ Mengen. Sei f: X → Y eine Abbildung mit X′f ⊆ Y′. Wir schreiben f|_{X′}^{Y′}: X′ → Y′ für die Einschränkung von f im Definitionsbereich auf X′, im Zielbereich auf Y′. I.e. x′(f|_{X′}^{Y′}) = x′f für x′ ∈ X′.

Ist Y′ = Y, so schreiben wir auch f_{X′} := f|_{X′}^{Y′}.

Ist X′ = X, so schreiben wir auch f^{Y′} := f|_{X′}^{Y′}.

• Eine Gruppe G = (G, ·) ist eine Menge G zusammen mit einer Multiplikationsabbildung (·) : G × G → G, welche assoziativ ist, für welche ein beidseitig neutrales Element 1 = 1_{G} existiert und für welche zu jedem Element g ∈ G ein beidseitiges Inverses g^{−} existiert. Oft schreiben wir xy := x · y für x, y ∈ G.

• Sei G eine Gruppe. Seien x, g ∈ G. Sei g^{x} := x^{−}gx das Resultat der Konjugation von g mit x.

• Sei G eine Gruppe.

Eine Teilmenge U von G heißt Untergruppe, falls 1_{G} ∈ U und falls für u, v ∈ U auch uv^{−} ∈ U ist. Wir schreiben diesenfalls U ⩽ G.

Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G, falls für n ∈ N und x ∈ G auch n^{x} ∈ N ist. Wir schreiben diesenfalls N ⊴ G.

Ist N ⊴ G, dann ist G/N := { gN : g ∈ G } mittels gN · g̃N := gg̃N für g, g̃ ∈ G eine Gruppe, die Faktorgruppe von G modulo N.

• Sei G eine Gruppe. Sei X ⊆ G eine Teilmenge. Sei ⟨X⟩ der Schnitt aller Untergruppen von G, die X enthalten. Es heißt ⟨X⟩ das Untergruppenerzeugnis von X in G. Es ist ⟨X⟩ in jeder Untergruppe von G enthalten, die X enthält. Es besteht ⟨X⟩ aus allen Produkten von Elementen von X und ihrer Inversen. Als Beispiel, sind x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ X, dann ist e.g. x_{2}^{−}x_{3}x_{1}^{3}x_{2}^{−2}x_{1}^{−7} ∈ ⟨X⟩.

• Seien G und H Gruppen. Ein Gruppenmorphismus von G nach H ist eine Abbildung G ⟶^{f} H, für welche (xy)f = (xf)(yf) gilt für x, y ∈ G. Insbesondere ist dann 1f = 1 und (x^{−})f = (xf)^{−} für x ∈ G.

• Eine Gruppe G heißt abelsch, falls xy = yx ist für x, y ∈ G.

• Sei G eine endliche Gruppe. Es bezeichnet |G| die Ordnung von G, i.e. die Anzahl der Elemente von G.

• Sei n ⩾ 1. Es bezeichnet S_{n} die symmetrische Gruppe auf der Menge [1, n] = {1, 2, …, n}. I.e. S_{n} besteht aus den bijektiven Abbildungen von [1, n] nach [1, n]. Die Multiplikation ist gegeben durch Komposition. Es ist 1_{S_{n}} = id_{[1,n]} =: id.

Ein Element σ ∈ S_{n} wird in Zykelschreibweise geschrieben :

σ = (a_{1,1}, a_{1,2}, …, a_{1,ℓ_{1}})(a_{2,1}, a_{2,2}, …, a_{2,ℓ_{2}}) … (a_{k,1}, a_{k,2}, …, a_{k,ℓ_{k}})

bedeute, daß sich für i ∈ [1, k] zum einen a_{i,j}σ = a_{i,j+1} ergibt für j ∈ [1, ℓ_{i} − 1], zum anderen a_{i,ℓ_{i}}σ = a_{i,1} ist.

In dieser Schreibweise werden Zykel der Länge ℓ_{i} = 1 in der Regel nicht hingeschrieben.

So ist e.g. σ := (1, 4, 2)(3, 8, 5, 7) ∈ S_{8} die Abbildung σ : [1, 8] → [1, 8] mit 1σ = 4, 4σ = 2, 2σ = 1, 3σ = 8, 8σ = 5, 5σ = 7, 7σ = 5 und 6σ = 6.

Ferner ist e.g. S_{3} = {id, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Da (1, 2)(2, 3) = (1, 3, 2), aber (2, 3)(1, 2) = (1, 2, 3), ist S_{3} eine nichtabelsche Gruppe.

• Sei X eine Menge. Es bezeichnet S_{X} die symmetrische Gruppe auf X. I.e. S_{X} besteht aus den bijektiven Abbildungen von X nach X. Die Multiplikation ist gegeben durch Komposition. Es ist 1_{S_{X}} = id_{X} =: id.

Für n ⩾ 1 ist also S_{[1,n]} = S_{n}.

1 Magma

Wir verwenden das Computeralgebra-System Magma.

Das Handbuch findet sich unter magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/MAGMA.htm.

Ein Magma-Online-Rechner findet sich unter magma.maths.usyd.edu.au/calc/.

Am Rechner wird Magma in einer Shell mittels magma aufgerufen. Darin wird die Hilfe e.g. für den Begriff “Integers” mit ?Integers aufgerufen.

2 Verschränkte Moduln

2.1 Automorphismengruppen

Definition 1 Sei M eine Gruppe. Die Automorphismengruppe Aut(M) besteht aus den bijektiven Gruppenmorphismen von M nach M. Die Multiplikation auf Aut(M) ist gegeben durch Komposition. Ferner ist 1_{Aut(M)} = id_{M} .

Definition 2 (und Beispiel) Sei M eine Gruppe. Sei x ∈ M.

Es ist κ_{x}^{M}: M → M: m ↦ m^{x} ein Automorphismus, die Konjugation mit x auf M.

Kurz, es ist κ_{x}^{M} ∈ Aut(M).

Wir schreiben oft κ_{x} := κ_{x}^{M}, wenn M aus dem Kontext hervorgeht.

Rechnen wir nach, daß κ_{x} ein Automorphismus von M ist. Es ist κ_{xy} = κ_{x}κ_{y} für x, y ∈ M, da m^{(xy)} = y^{−}x^{−}mxy = (m^{x})^{y} ist für m ∈ M. Insbesondere ist κ_{x}κ_{x^{−}} = κ_{xx^{−}} = κ_{1} = id_{M} und κ_{x^{−}}κ_{x} = κ_{x^{−}x} = κ_{1} = id_{M}. Also ist κ_{x} bijektiv. Ferner ist (mκ_{x})(n) = x^{−}mxx^{−}nx = x^{−}mnx = (mn)κ_{x} für m, n ∈ M. Also ist κ_{x} ein Gruppenmorphismus.

Beispiel 3 Sei c := (1, 2, 3) ∈ S_{3} =: G. Wir betrachten M := ⟨c⟩ = {1, c, c^{2}} ⊴ G.

Es ist κ_{(1,2)}^{G} ∈ Aut(G).

Es ist σ := κ_{(1,2)}^{G}|_{M}^{M} ∈ Aut(M).

Es wird 1σ = 1, cσ = (1, 2, 3)^{(1,2)} = (1, 3, 2) = c^{2} und also c^{2}σ = c^{4} = c.

Da M abelsch ist, ist somit σ nicht von der Form κ_{x}^{M} für ein x ∈ M.

Diese Situation können wir mittels Magma untersuchen.

G := SymmetricGroup(3);
print G;
print Order(G);
print G!(1,2) * G!(2,3);
c := G!(1,2,3);
M := sub<G | c>;
A := AutomorphismGroup(M);
print A;
print Order(A);
AFP,phi := FPGroup(A);
AP,psi := PermutationGroup(AFP);
list := [x@@psi@phi : x in AP];
print c@list[1];
print c@list[2];

Um die Elemente von A = Aut(M) auflisten zu können, wird man von Magma zu einer Pirouette gezwungen : man muß A umwandeln in eine endlich präsentierte Gruppe (finitely presented) und dann in eine Permutationsgruppe; diese darf man dann auflisten. Rückwärts ist dann mittels @@ ein Urbild zu nehmen, mittels @ ein Bild. Alternativ hätte man auch x@(psi^-1*phi) verwenden können.

Diese Liste der Elemente von Aut(M) heißt nun list. Darin ist list[1] = id_{M} und list[2] = γ. Da Aut(M) nur ein Element von Ordnung 2 hat, könnte man nach Erhalt von AP auch wie folgt vorgehen :

sigma := [x@@psi@phi : x in AP | Order(x) eq 2][1];
print c@sigma;

Notation 4 Seien G und M Gruppen. Sei G ⟶^{α} Aut(M) ein Gruppenmorphismus.

Wir schreiben mißbräuchlicherweise oft m^{g} := m(gα) für m ∈ M und g ∈ G, wenn α aus dem Kontext hervorgeht.

Dann ist m^{1} = m(1α) = m1_{Aut(M)} = m id_{M} = m für m ∈ M. Ferner ist m^{(gh)} = m((gh)α) = m(gα)(hα) = (m^{g})^{h} für m ∈ M und g, h ∈ G. Schließlich ist (mm̃)^{g} = (mm̃)(gα) = m(gα) · m̃(gα) = m^{g} · m̃^{g} für m ∈ M und g ∈ G.

2.2 Der Begriff des verschränkten Moduls

Definition 5 Ein verschränkter Modul V = (G, M, f, α) besteht aus • einer Gruppe M,

• einer Gruppe G,

• einem Gruppenmorphismus G ⟶^{α} Aut(M)

• und einem Gruppenmorphismus M ⟶^{f} G derart, daß die Eigenschaften (VM 1) und (VM 2) gelten.

(VM 1) Es ist (m(gα))f = (mf)^{g} für m ∈ M und g ∈ G. (VM 2) Es ist m^{n} = m(nfα) für m ∈ M und n ∈ M.

Unter Verwendung von Notation 4 kann man dies auch wie folgt schreiben. (VM 1) Es ist (m^{g})f = (mf)^{g} für m ∈ M und g ∈ G. (VM 2) Es ist m^{n} = m^{nf} für m ∈ M und n ∈ M.

Ist V = (M, G, α, f) ein verschränkter Modul, dann schreiben wir auch • V^{Modul} := M für den Modul von V,

• V^{Gruppe} := G für die Gruppe von V,

• α_{V} := α für die Operation von V,

• f_{V} := f für das Differential von V. Aus (VM 1) folgt Mf ⊴ G. Beispiel 6

(1) Sei M = 1. Sei G eine beliebige Gruppe. Dann liegen f und α eindeutig fest und es ist (1, G, α, f) ein verschränkter Modul.

(2) Sei M eine abelsche Gruppe. Sei G = 1. Dann liegen f und α eindeutig fest und es ist (M, 1, α, f) ein verschränkter Modul. Insbesondere ist (VM 2) erfüllt, da m^{n} = m = m^{nf} ist wegen M abelsch.

Definition 7 (und Beispiel) Sei G eine Gruppe. Sei M ⊴ G.

Sei M ⟶^{f} G der Einbettungsmorphismus, i.e. f = id_{G} |_{M} , i.e. f: M → G: m ↦ m.

Sei α: G → Aut(M): g ↦ κ_{g}^{G}|_{M}^{M} ; cf. Definition 2. Es ist α ein Gruppenmorphismus.

Beachte, daß dann für m ∈ M und g ∈ G sich m(gα) = mκ_{g}^{G} = m^{g} ergibt, was die in Notation 4 angesprochene mißbräuchliche Notation rechtfertigt.

Es ist V_{M⊴G} := (M, G, α, f) ein verschränkter Modul.

Beispiel 8 Wir setzen Beispiel 3 fort, in welchem c = (1, 2, 3) und M = ⟨c⟩ ⊴ S_{3} = G war.

Es ist V_{M⊴G} ein verschränkter Modul.

Für c = (1, 2, 3) ∈ M und g := (1, 2) ∈ G ist also e.g.

c(gα) = cκ_{g}^{G} = c^{g} = (1, 2, 3)^{(1,2)} = (2, 1, 3) = (1, 3, 2) .

In Magma kann dies wie folgt eingegeben werden.

G := SymmetricGroup(3);
M := sub<G | G!(1,2,3)>;
f := hom<M -> G | x :-> x>;
alpha := hom<G -> AutomorphismGroup(M) | x :-> hom<M -> M | m :-> m^x> >;
// Test:
print [(m@(g@alpha))@f : g in G, m in M];  // Linke Seite von (VM 1)
print [ (m@f)^g  : g in G, m in M];        // Rechte Seite von (VM 1)
print &and[(m@(g@alpha))@f eq (m@f)^g  : g in G, m in M]; // Test von (VM 1)
print [m^n : m in M, n in M];              // Linke Seite von (VM 2)
print [m@(n@f@alpha) : m in M, n in M];    // Rechte Seite von (VM 2)
print &and[m^n eq m@(n@f@alpha)  : m in M, n in M]; // Test von (VM 2)

Definition 9 (und Beispiel) Sei M eine Gruppe. Sei G := Aut(M).

Sei f: M → G: x ↦ κ_{x}^{M}. I.e. für x ∈ M ist xf ∈ Aut(M) der Automorphismus von M, welcher m ∈ M auf m(xf) = m^{x} = x^{−}mx abbildet.

Sei α: G → Aut(M): σ ↦ σ die Identität auf Aut(M).

Dann ist V_{M→Aut(M)} := (M, G, α, f) = (M, Aut(M), id_{Aut(M)}, f) ein verschränkter Modul.

Beispiel 10 Wir suchen mittels Magma eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8.

print SmallGroups(8);
print [IsAbelian(H) : H in SmallGroups(8)];
M := PermutationGroup(FPGroup(SmallGroups(8)[3]));
print [Order(x) : x in M];
print [x : x in M];
print sub< M |M!(1,2,3,4), M!(1,3)> eq M;

Sei also M = D_{8} := ⟨(1, 2, 3, 4), (1, 3)⟩ ⩽ S_{4} . Wir wollen V_{M→Aut(M)} via Magma betrachten.

T := SymmetricGroup(4);
M := sub<T | T!(1,2,3,4), T!(1,3)>;
GA := AutomorphismGroup(M);
GFP,phi := FPGroup(GA);
G,psi := PermutationGroup(GFP);
alpha := psi^-1 * phi; // von G nach GA = Aut(M)
f0 := hom< M -> AutomorphismGroup(M) | x :-> hom<M->M | m :-> m^x > >;
f := hom<M -> G | m :-> [x : x in G | m@f0 eq x@alpha][1] > ;
// Test:
print [<x,x@f> : x in M];
print [(m@(g@alpha))@f : g in G, m in M]; // Linke Seite von (VM 1)
print [ (m@f)^g  : g in G, m in M];       // Rechte Seite von (VM 1)
print &and[(m@(g@alpha))@f eq (m@f)^g  : g in G, m in M]; // Test von (VM 1)
print [m^n : m in M, n in M];             // Linke Seite von (VM 2)
print [m@(n@f@alpha) : m in M, n in M];   // Rechte Seite von (VM 2)
print &and[m^n eq m@(n@f@alpha)  : m in M, n in M]; // Test von (VM 2)

Definition 11 Seien V = (M, G, α, f) und V′ = (M′, G′, α′, f′) verschränkte Moduln.

Ein Morphismus von verschränkten Moduln (γ, μ) von V nach V′ besteht aus

• einem Gruppenmorphismus G ⟶^{γ} G′

• und einem Gruppenmorphismus M ⟶^{μ} M′

derart, daß die Eigenschaften (MVM 1) und (MVM 2) gelten.

(MVM 1) Es ist mμf′ = mfγ für m ∈ M.

(MVM 2) Es ist m(gα)μ = (mμ)(gγα′) für m ∈ M und g ∈ G.

Die Eigenschaft (MVM 1) bedeutet die Kommutativität des Vierecks

\xymatrix{M \ar[r]^{f} \ar[d]_{μ} & G \ar[d]^{γ} \\ M′ \ar[r]^{f′} & G′}

Unter Verwendung von Notation 4 können wir umschreiben :

(MVM 2) Es ist (m^{g})μ = (mμ)^{gγ} für m ∈ M und g ∈ G.

E.g. ist V ⟶^{(id,id)} V ein Morphismus verschränkter Moduln. Sind V, V′, V′′ verschränkte Moduln und sind V ⟶^{(γ,μ)} V′ ⟶^{(γ′,μ′)} V′′ Morphismen verschränkter Moduln, dann auch ist auch ihr Kompositum

V ⟶^{(γ,μ) ▲ (γ′,μ′) := (γγ′,μμ′)} V′′

ein Morphismus verschränkter Moduln. Sei V ⟶^{(γ,μ)} V′ ein Morphismus verschränkter Moduln. Sind γ und μ bijektiv, dann ist auch V ⟵^{(γ^{−}, μ^{−})} V′ ein Morphismus verschränkter Moduln. Diesenfalls heißt (γ, μ) ein Isomorphismus verschränkter Moduln. Existiert ein Isomorphismus verschränkter Moduln von V nach V′, so heißen V und V′ isomorph, geschrieben V ≃ V′.

Bemerkung 12 Sei M ⊴ G. Sei M′ ⊴ G′. Sei G ⟶^{γ} G′ ein Gruppenmorphismus mit Mγ ⩽ M′. Schreibe μ := γ|_{M}^{M′}. Dann ist

V_{M⊴G} ⟶^{(γ,μ)} V_{M′⊴G′}

ein Morphismus verschränkter Moduln.

Beweis. Zum einen erzwingt (MVM 1) die Definition von μ. Zum anderen können wir (MVM 2) wie folgt nachrechnen: für m ∈ M und g ∈ G wird

(m^{g})μ = (m^{g})γ = (mγ)^{gγ} = (mμ)^{gγ} .

Bemerkung 13 Sei V = (M, G, α, f) ein verschränkter Modul. Ist f injektiv, dann ist V isomorph zu V_{Mf⊴G}.

Beweis. Wir haben einen Gruppenisomorphismus M ⟶^{f̄} Mf: m ↦ mf. Wir behaupten, daß (f̄, id_{G}) ein Isomorphismus verschränkter Moduln von V nach V_{Mf⊴G} ist. Schreibe ι: Mf → G: x → x für dis Inklusionsabbildung. Ad (MVM 1). Für m ∈ M ist mf̄ι = mf = mf id_{G}. Ad (MVM 2). Für m ∈ M und g ∈ G ist (m^{g})f̄ = (m^{g})f = (mf)^{g} = (mf)^{g id_{G}}.

3 Konstruktion von Gruppen

3.1 Semidirekte Produkte

Sei G eine Gruppe. Sei M eine Gruppe. Sei α: G → M ein Gruppenmorphismus. Wir erinnern an die Schreibweise m(gα) = m^{g} für m ∈ M und g ∈ G.

Definition 14 Wir betrachten die Menge G × M. Sei auf G × M eine Multiplikation erklärt durch

(g, m)(g′, m′) = (g, m) ·_{α} (g′, m′) := (gg′, m^{g′}m′) .

für (g, m), (g′, m′) ∈ G × M. (Merkregel: “das Element g′ muß an m vorbei, das kostet eine Operation.”) Diese Multiplikation hat das neutrale Element (1, 1). Sie ist assoziativ, da bei Multiplikation der Elemente (g, m), (g′, m′), (g′′, m′′) ∈ G × M sich

((g, m)(g′, m′))(g′′, m′′) = (gg′g′′, m^{g′g′′}m^{′g′′}m′′) = (g, m)((g′, m′)(g′′, m′′))

ergibt. Für (g, m) ∈ G × M erhalten wir

(g, m)(g^{−}, (m^{−})^{g^{−}}) = (1, 1) = (g^{−}, (m^{−})^{g^{−}})(g, m)

was die Existenz eines Inversen (g, m)^{−} = (g^{−}, (m^{−})^{g^{−}}) sichert. Folglich ist (G × M, ·_{α}) eine Gruppe, das semidirekte Produkt von G und M mittels α. Diese Gruppe wird G ⋉_{α} M geschrieben, oder kurz G ⋉ M, wenn kein Mißverständnis zu erwarten ist. Der Normalteiler { (1, m) : m ∈ M } von G⋉M wird mit M via m ↦ (1, m) identifiziert.

Beispiel 15 Wir setzen Beispiel 8 fort. Dort war c := (1, 2, 3) und M = ⟨c⟩ ⊴ S_{3} = G. Der dortige Gruppenmorphismus α: G → Aut(M) schickte x ∈ G auf die Konjugation mit x, eingeschränkt auf M. Sei d := (1, 2). Sei H := ⟨d⟩ = {id, d}. Sei β := α|_{H}: H → Aut(M). Wir wollen mittels Magma nachrechnen, daß

H ⋉_{β} M ≃ S_{3}

ist.

G := SymmetricGroup(3);
c := G!(1,2,3);
d := G!(1,2);
M := sub<G | c>;
H := sub<G | d>;
sigma := hom<M->M | c -> c^2 >;
beta := hom< H -> AutomorphismGroup(M) | d -> sigma >;
print Order(Image(beta));
SP := SemidirectProduct(M,H,beta);
print IsIsomorphic(SP,G);

Es ist hier sogar SQ gleich G, aber das liegt nur an der Art, wie Magma intern ein semidirektes Produkt konstruiert.

3.2 Kranzprodukte

Definition 16 Sei t ⩾ 1. Sei H ⩽ S_{t}. Sei K eine Gruppe.

Sei K^{×t} := { (k_{i})_{i∈[1,t]} : k_{i} ∈ K für i ∈ [1, t] }.

Oft schreiben wir dabei kurz (k_{i})_{i} := (k_{i})_{i∈[1,t]}.

Es ist K^{×t} eine Gruppe mit eintragsweiser Multiplikation, i.e. (k_{i})_{i} · (k̃_{i})_{i} := (k_{i}k̃_{i})_{i} für (k_{i})_{i} , (k̃_{i})_{i} ∈ K^{×t}.

Wir haben einen Gruppenmorphismus

\begin{matrix}H & ⟶^{α} & Aut(K^{×t}) \\ h & ↦ & ((k_{i})_{i} ↦ (k_{ih^{−}})_{i}) \end{matrix}

Mit anderen Worten, es ist ((k_{i})_{i})^{h} = (k_{ih^{−}})_{i} für (k_{i})_{i} ∈ K^{[1,t]} und h ∈ H.

Für h ∈ H ist in der Tat hα bijektiv, da beidseitig invertiert von (h^{−})α. Es ist hα ein Gruppenmorphismus wegen ((k_{i})_{i} · (k̃_{i})_{i})^{h} = ((k_{i}k̃_{i})_{i})^{h} = (k_{ih^{−}} k̃_{ih^{−}})_{i} = (k_{ih^{−}})_{i} · k̃_{ih^{−}})_{i} = ((k_{i})_{i})^{h} ·((k̃_{i})_{i})^{h} für (k_{i})_{i} , (k̃_{i})_{i} ∈ K^{×[1,t]}. Schließlich ist α ein Gruppenmorphismus wegen ((k_{i})_{i})^{hh̃} = (k_{i(hh̃)^{−}})_{i} = (k_{ih̃^{−}h^{−}})_{i} = ((k_{ih^{−}})_{i})h̃ = (((k_{i})_{i})^{h})h̃ für (k_{i})_{i} ∈ K^{×[1,t]}, i.e. (hh̃)α = (hα) ▲(h̃α), wobei h, h̃ ∈ H.

Sei nun

H ≀ K := H ⋉_{α} K^{×[1,t]}

das Kranzprodukt von H mit K.

Es werden Elemente (h, (k_{i})_{i}), (h̃, (k̃_{i})_{i}) ∈ H ≀ K also wie folgt multipliziert.

(h, (k_{i})_{i}) · (h̃, (k̃_{i})_{i}) = (hh̃, (k_{ih̃^{−}} k̃_{i})_{i}) .

Beispiel 17 Sei einmal t = 2 und H := S_{2} ⩽ S_{2} . Sei K := S_{3}.

H := SymmetricGroup(2);
K := SymmetricGroup(3);
W,a,b,c := WreathProduct(K,H);
print W;
print a;
print b;
print c;

Nun ist W die Gruppe H ≀ K = H ⋉ (K × K), welche Ordnung |H| · |K|^{2} = 2 · 6^{2} = 72 hat.

Es beinhaltet a die beiden Gruppenmorphismen von K in den jeweiligen direkten Faktor des direkten Produkts K × K, was wiederum ein Normalteiler von H ≀ K ist.

Es ist b der Gruppenmorphismus von H in den ersten Faktor des semidirekten Produkts, was Untergruppe von H ≀ K ist.

Es ist c der Projektionsmorphismus von H ≀ K nach H.

4 Die Kategorie zu einem verschränkten Modul

4.1 Kategorien

Definition 18 Eine Kategorie C besteht aus (^{2})

• einer Menge von Objekten Ob(C),

• einer Menge von Morphismen Mor(C),

• einer Abbildung i_{C}: Ob(C) → Mor(C),

• zwei Abbildungen s_{C}, t_{C} : Mor(C) → Ob(C) und einer

• Kompositionsabbildung.

Hierbei schreiben wir für X ∈ Ob(C) auch id = id_{X} := Xi_{C} (identity).

Ferner schreiben wir für f ∈ Mor(C) auch X ⟶^{f} Y, falls X = fs_{C} und Y = ft_{C} gelten (source und target, also Start- und Zielobjekt).

Die genannte Kompositionsabbildung ordnet jedem Paar von Morphismen der Form X ⟶^{f} Y ⟶^{g} Z sein Kompositum X ⟶^{f ▲ g} Z zu.

Dieses Kompositum wird oft auch kurz X ⟶^{fg} Z geschrieben.

Die Eigenschaften (Cat 1–3) sollen gelten.

2Mengentheoretische Probleme werden nun außen vorgelassen und bei Bedarf mittels Universen wegdiskutiert.

(Cat 1) Es ist Xi_{C}s_{C} = X und Xi_{C}t_{C} = X für X ∈ Ob(C).

I.e. es ist X ⟶^{id_{X}} X für X ∈ Ob(C). (Cat 2) Für X ⟶^{f} Y ist id_{X} ▲f = f = f ▲ id_{Y} .

(Cat 3) Für X ⟶^{f} Y ⟶^{g} Z ⟶^{h} W ist (f ▲g) ▲h = f ▲(g ▲h).

Ein Morphismus X ⟶^{f} Y heißt Isomorphismus, falls es einen Morphismus X ⟵^{g} Y mit f ▲g = id_{X} und mit g ▲f = id_{Y} gibt.

Beispiel 19

(1) Die Kategorie der Mengen und Abbildungen.

(2) Die Kategorie der Gruppen und Gruppenmorphismen.

(3) Die Kategorie der R-Vektorräume und R-linearen Abbildungen.

(4) Die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen.

(5) Die Kategorie der verschränkten Moduln und Morphismen verschränkter Moduln.

4.2 Konstruktion einer Kategorie zu einem verschränkten Mo-

dul

Definition 20 Sei V = (M, G, α, f) ein verschränkter Modul. Sei die Kategorie V Cat definiert durch

• Ob(V Cat) := G,

• Mor(V Cat) := G ⋉_{α} M,

• g i_{V Cat} = (g, 1) für g ∈ G, i.e. id_{g} = (g, 1),

• (g, m)s_{V Cat} := g und (g, m)t_{V Cat} := g(mf) für (g, m) ∈ Mor(V Cat), i.e. es verläuft

g ⟶^{(g,m)} g(mf),

• und die Komposition, die

g ⟶^{(g,m)} g(mf) ⟶^{(g(mf),m′)} g((mm′)f)

zu

g ⟶^{(g,m) ▲ (g(mf),m′) := (g,mm′)} g((mm′)f)

komponiert.

Da nun Elemente von Mor(V Cat) = G ⋉_{α} M sowohl komponiert als auch multipliziert

werden können, empfiehlt sich hier, die Kompositionsoperation konsequent mit ( ▲) zu kennzeichnen.

Bemerkung 21 Sei G eine Gruppe. Sei M ⊴ G. Wir erinnern an Ob(V_{M⊴G} Cat) = G und Mor(V_{M⊴G} Cat) = G ⋊ M.

Seien g, g′ ∈ G.

Ist g′ ∉ gM, dann gibt es keinen Morphismus von g nach g′ in V_{M⊴G} Cat.

Ist g′ ∈ gM, dann ist der einzige Morphismus von g nach g′ gegeben durch g ⟶^{(g,g^{−}g′)} g′ in V_{M⊴G} Cat.

Da genau dann g′ ∈ gM liegt, wenn g ∈ g′M liegt, ist jeder Morphismus in V_{M⊴G} Cat ein Isomorphismus.

Beispiel 22 Wir setzen Beispiel 15 fort, in welchem c = (1, 2, 3) und M = ⟨c⟩ ⊴ S_{3} = G war.

Der dortige Gruppenmorphismus α: G → Aut(M) schickte x ∈ G auf die Konjugation mit x, eingeschränkt auf M.

Es hat V_{M⊴G} Cat zum einen Ob(V_{M⊴G}) = G, zum anderen Mor(V_{M⊴G} Cat) = G ⋉_{α} M.

Es handelt sich also um eine Kategorie mit 6 Objekten und 18 Morphismen.

Es werden e.g.

(1, 2) ⟶^{((1,2),(1,2,3))} (1, 3) ⟶^{((1,3),(1,2,3))} (2, 3)

komponiert zu

(1, 2) ⟶^{((1,2),(1,2,3)) ▲ ((1,3),(1,2,3)) = ((1,2),(1,3,2))} (2, 3) .

Folgendes Diagramm enthält die Objekte und die nichtidentischen Morphismen von V_{M⊴G} Cat.

\xymatrix{ & id \ar[dr] \ar[dl] &  &  & (1, 2) \ar[dr] \ar[dl] \\ (1, 2, 3) \ar[ur] \ar[rr] &  & (1, 3, 2) \ar[ul] \ar[ll] & (1, 3) \ar[ur] \ar[rr] &  & (2, 3) \ar[ul] \ar[ll]}

Beispiel 23 Wir setzen Beispiel 10 fort, in welchem M = D_{8} = ⟨(1, 2, 3, 4), (1, 3)⟩ ⩽ S_{4} und G = Aut(M) war, wobei α die Identität war und f ein Element x auf κ_{x}^{M} schickt, also auf die Konjugation mit x.

Wir schreiben a := (1, 2, 3, 4) und b := (1, 3). Es ist M = ⟨a, b⟩.

Wir schreiben c := (1, 3, 2, 4) und d := (3, 4). Im genannten Beispiel wurde G von Magma isomorph ersetzt durch die Gruppe ⟨c, d⟩ ⩽ S_{4} , die wieder G genannt werden soll. Nach isomorpher Ersetzung ist af = c^{2} und bf = d. Der Kern von f ist erzeugt von a^{2}. Ferner ist a^{c} = a und b^{c} = a^{3}b. Schließlich ist a^{d} = a^{−1} und b^{d} = b. Dies alles erhalten wir wie folgt aus Magma.

a := M!(1,2,3,4);
b := M!(1,3);
c := G!(1,3,2,4);
d := G!(3,4);
print a@f, b@f;
print c^2, d;
print Kernel(f);
print a@(c@alpha), b@(c@alpha);
print a, a^-1*b;
print a@(d@alpha), b@(d@alpha);
print a^-1, b;

Wir wollen einen Ausschnitt der Kategorie V := V_{M→Aut(M)} = (M, G, f, α) graphisch darstellen, eine sogenannte volle Teilkategorie, auf den Objekten 1, c, d ∈ G = Ob(V Cat).

Die Identitäten auf 1, c und d werden nicht dargestellt.

Es gibt keine Morphismen von 1 nach c und keine Morphismen von c nach 1. Es gibt keine Morphismen von d nach c und keine Morphismen von c nach d.

Es sind (1, b) und (1, a^{2}b) Morphismen von 1 nach d. Es sind (d, b) und (d, a^{2}b) Morphismen von d nach 1.

Es ist (1, a^{2}) ein nichtidentischer Morphismus von 1 nach 1. Es ist (d, a^{2}) ein nichtidentischer Morphismus von d nach d. Es ist (c, a^{2}) ein nichtidentischer Morphismus von c nach c.

[figure: c; (c,a^{2}); 1; (1,a^{2}); (1,b); (1,a^{2}b); d; (d,a^{2}); (d,b); (d,a^{2}b)]

Zum Beispiel wird (1, b) ▲(d, a^{2}b) = (1, b · a^{2}b) = (1, a^{2}).

Das Bild ist nun natürlich unvollständig : es fehlen die Objekte c^{2}, c^{3}, cd, c^{2}d, c^{3}d sowie die Morphismen, die ein solches Objekt als Start- oder Zielobjekt haben.

5 Der symmetrische verschränkte Modul zu einer Kategorie

5.1 Funktoren

Definition 24 Seien C und D Kategorien.

Ein Funktor C ⟶^{F} D besteht aus Abbildungen

• Ob(C) ⟶^{Ob(F)} Ob(D)

• und Mor(C) ⟶^{Mor(F)} Mor(D).

Die Eigenschaften (Fu 1–3) sollen gelten.

(Fu 1) Es ist id_{X} Mor(F) = id_{X Ob(F)} für X ∈ Ob(C).

(Fu 2) Sei X ⟶^{u} Y ein Morphismus in C. Dann ist X Ob(F) ⟶^{u Mor(F)} Y Ob(F) in D.

(Fu 3) Für X ⟶^{u} Y ⟶^{v} Z in C ist (u ▲v) Mor(F) = (u Mor(F)) ▲(v Mor(F)).

Häufig schreibt man kurz F := Ob(F) und F := Mor(F). Dann werden (Fu 1–3) zu :

(Fu 1) Es ist id_{X} F = id_{XF} für X ∈ Ob(C).

(Fu 2) Es wird X ⟶^{u} Y in C auf XF ⟶^{uF} Y F in D abgebildet.

(Fu 3) Für X ⟶^{u} Y ⟶^{v} Z in C ist (u ▲v)F = (uF) ▲(vF).

Sind C, D und E Kategorien und sind C ⟶^{F} D ⟶^{F′} E Funktoren, dann ist auch ihr Kompositum C ⟶^{F ▲ F′} E ein Funktor, für welches Ob(F ▲F′) := Ob(F) ▲ Ob(F′) und Ob(F ▲F′) := Ob(F) ▲ Ob(F′) gesetzt wird.

Ein Funktor F heißt Autofunktor von C, wenn er von C nach C verläuft und Ob(F) und Mor(F) bijektiv sind. (^{3})

E.g. ist id_{C} mit Ob(id_{C}) := id_{Ob(C)} und Mor(id_{C}) := id_{Mor(C)} ein Autofunktor von C.

Ist F ein Autofunktor, dann auch F^{−}, bestehend aus Ob(F^{−}) := Ob(F)^{−} und Mor(F^{−}) := Mor(F)^{−}.

Insgesamt bildet die Menge

Aut(C)

der Autofunktoren von C zusammen mit der Komposition als Multiplikation und id_{C} als neutralem Element eine Gruppe.

3An dieser Stelle sollte man auch die Eigenschaften “voll” und “treu” erwähnen, wenn man größere Allgemeinheit anstrebt.

Beispiel 25 Sei Grp die Kategorie aus Gruppen und Gruppenmorphismen.

Für eine Gruppe G sei ihre Kommutatoruntergruppe durch

G^{(1)} := ⟨x^{−}y^{−}xy: x, y ∈ G⟩ ⊴ G

gegeben. Sei G^{ab} := G/G^{(1)}.

Es ist G^{ab} abelsch, da für x, y ∈ G sich

(xG^{(1)})(yG^{(1)}) = xyG^{(1)} = yxG^{(1)} = (yG^{(1)})(xG^{(1)})

ergibt, weil (yx)^{−}xy ∈ G^{(1)} liegt.

Für einen Gruppenmorphismus G ⟶^{f} H sei

\begin{matrix}G^{ab} & ⟶^{f^{ab}} & H^{ab} \\ xG^{(1)} & ↦ & xfH^{(1)} . \end{matrix}

Wegen G^{(1)}f ⩽ H^{(1)} ist das ein wohldefinierter Gruppenmorphismus.

Es ist

Grp ⟶^{(−)^{ab}} Grp
(G ⟶^{f} H) ↦ (G^{ab} ⟶^{f^{ab}} H^{ab})

ein Funktor von Grp nach Grp.

Wir wollen mittels Magma nachrechnen, daß (−)^{ab} kein Autofunktor ist. Genauer, wir wollen nachrechnen, daß dieser Funktor auf den Morphismen nicht injektiv ist.

G := SymmetricGroup(3);
c := G!(1,2,3);
d := G!(1,2);
sigma := hom< G->G | x :-> x^c >;
id_G  := hom< G->G | x :-> x   >;
print d eq d@sigma;
print id_G eq sigma;
N := CommutatorSubgroup(G);
Gab,rho := quo<G | N>;
print rho;
id_Gab := hom< Gab->Gab | x :-> x >;
print sigma * rho eq rho * id_Gab;
print id_G  * rho eq rho * id_Gab;

Natürlich hätte man auch argumentieren können, daß (−)^{ab} auf Objekten nicht surjektiv ist, da S_{3} als nichtabelsche Gruppe nicht im Bild liegt.

Lemma 26 Sei G eine endliche Gruppe. Sei M ⊴ G. Schreibe t := |G|/|M| = |G/M|. Wähle g_{i} ∈ G für i ∈ [1, t] mit G = ⨆_{i∈[1,t]} g_{i}M. Wir betrachten die symmetrischen Gruppen H := S_{t} ⩽ S_{t} und K := S_{M} . Wir bilden das Kranzprodukt H ≀ K = S_{t} ≀ S_{M} ; cf. Definition 16. Dieses hat Ordnung |S_{t} ≀ S_{M}| = t! · |M|!^{t}. Darin ist (ψ, (φ_{i})_{i}) · (ψ̃, (φ̃_{i})_{i}) = (ψ ▲ ψ̃, (φ_{iψ^{−}} ▲ φ̃_{i})_{i}) für (ψ, (φ_{i})_{i}), (ψ̃, (φ̃_{i})_{i}) ∈ S_{t} ≀ S_{M} . Die Elemente von S_{t} ≀ S_{M} sind von der Form (ψ, (φ_{i})_{i}), mit ψ ∈ S_{t} und φ_{i} ∈ S_{M} für i ∈ [1, t]. Es ist also φ_{i} eine bijektive Abbildung von M nach M. Wir haben den Gruppenisomorphismus

S_{t} ≀ S_{M} ⟶_{∼}^{ξ} Aut(V_{M⊴G} Cat)
(ψ, (φ_{i})_{i}) ↦ ( \xymatrix{g_{j} m \ar[d]_{(g_{j} m, m^{−}m′)} \\ g_{j} m′} ↦ \xymatrix{g_{jψ}(mφ_{j}) \ar[d]^{(g_{jψ}(mφ_{jψ}), (mφ_{jψ})^{−}(m′φ_{jψ}))} \\ g_{jψ} (m′φ_{jψ})} ) .

Hierbei sind j ∈ [1, t] und m, m′ ∈ M. Insbesondere ist auch | Aut(V_{M⊴G} Cat)| = t! · |M|!^{t}.

Beweis. Zeigen wir, daß das behauptete Bild ein Funktor ist. Sei j ∈ [1, t]. Sei m ∈ M. Die Identität auf g_{j} m ist (g_{j}m, 1) und wird auf (g_{jψ}(mφ_{jψ}), (mφ_{jψ})^{−}(mφ_{jψ})) = (g_{jψ}(mφ_{jψ}), 1) geschickt, also auf die Identität auf g_{jψ}(mφ_{jψ}). Sei j ∈ [1, t]. Seien m, m′, m′′ ∈ M. Wir betrachten die Morphismen

g_{j} m ⟶^{(g_{j} m, m^{−}m′)} g_{j} m′ ⟶^{(g_{j} m′, m^{′−}m′′)} g_{j} m′′ .

Das Bild ihres Kompositums

(g_{j} m, m^{−}m′) ▲(g_{j} m′, m^{′−}m′′) = (g_{j} m, m^{−}m′′)

ist (g_{jψ}(mφ_{jψ}), (mφ_{jψ})^{−}(m′′φ_{jψ})). Auf der anderen Seite berechnet sich das Kompositum ihrer Bilder zu

\begin{aligned}& (g_{jψ}(mφ_{jψ}), (mφ_{jψ})^{−}(m′φ_{jψ})) ▲(g_{jψ}(m′φ_{jψ}), (m′φ_{jψ})^{−}(m′′φ_{jψ})) \\ = & (g_{jψ}(mφ_{jψ}), (mφ_{jψ})^{−}(m′′φ_{jψ})) . \end{aligned}

Die Resultate stimmen überein.

Zeigen wir, daß das behauptete Bild ein Autofunktor ist.

Zeigen wir die Bijektivität auf der Objektmenge G. Da diese endlich ist, genügt es, die Injektivität zu zeigen. Seien j, j̃ ∈ [1, t]. Seien m, m̃ ∈ M. Seien j, j̃ ∈ [1, t] und m, m̃ ∈ M mit übereinstimmenden Bildern von g_{j} m und gj̃ m̃ gegeben, i.e. sei g_{jψ}(mφ_{jψ}) = g_{j̃ψ}(m̃φ_{j̃ψ}) . Dann ist g_{jψ}M = g_{j̃ψ}M und also jψ = j̃ψ. Da ψ injektiv ist, folgt j = j̃. Aus g_{jψ}(mφ_{jψ}) = g_{jψ}(m̃φ_{jψ}) folgt nun mφ_{jψ} = m̃φ_{jψ}, wegen φ_{jψ} injektiv also m = m̃.

Zwei Morphismen, die auf denselben Morphismus abgebildet werden, haben demnach dasselbe Start- und dasselbe Zielobjekt, sind also dank Bemerkung 21 gleich. Somit ist die Abbildung auch auf der Morphismenmenge G ⋉ M injektiv. Da diese Menge endlich ist, zeigt dies die Bijektivität der Abbildung auf der Morphismenmenge.

Zeigen wir, daß ξ ein Gruppenmorphismus ist.

Seien (ψ, (φ_{i})_{i}), (ψ̃, (φ̃_{i})_{i}) ∈ S_{t} ≀ S_{M} gegeben. Es genügt zu zeigen, daß das Bild ihres Produktes auf Objekten genauso operiert wie das Produkt ihrer Bilder, denn die Operation auf den Objekten legt hier die Operation auf den Morphismen fest; cf. Bemerkung 21.

Sei j ∈ [1, t] und m ∈ M gegeben.

Das Produkt der Bilder dieser beiden Elemente aus S_{t} ≀ S_{M}, i.e. ihr Kompositum, schickt das Objekt g_{j} m in einem ersten Schritt auf g_{jψ}(mφ_{jψ}), und dieses schließlich auf g_{(jψ)ψ̃}((mφ_{jψ})φ̃_{(jψ)ψ̃}).

Das Bild des Produktes (ψ, (φ_{i})_{i}) · (ψ̃, (φ̃_{i})_{i}) = (ψ ▲ ψ̃, (φ_{iψ̃^{−}} ▲ φ̃_{i})_{i}) dieser beiden Elemente schickt das Objekt g_{j} m auf

g_{j(ψ ▲ ψ̃)} (m(φ_{(j(ψ ▲ ψ̃))ψ̃^{−}} ▲ φ̃_{j(ψ ▲ ψ̃)})) = g_{(jψ)ψ̃} ((mφ_{jψ})φ̃_{(jψ)ψ̃}) .

Die Resultate stimmen überein.

Zeigen wir, daß ξ injektiv ist. Hierzu sollten wir nachweisen, daß der Kern von ξ nur aus dem neutralen Element besteht.

Sei also (ψ, (φ_{i})_{i}) ∈ S_{t} ≀ S_{M} derart gegeben, daß sein Bild der identische Funktor ist. Für j ∈ [1, t] und m ∈ M wird also g_{j} m auf g_{jψ}(mφ_{jψ}) = g_{j} m geschickt. Da also stets g_{jψ}M = g_{j}M ist, ist ψ = id_{[1,t]}. Da nun stets g_{j}(mφ_{j}) = g_{j} m ist, ist φ_{j} = id_{M} für j ∈ [1, t]. Folglich ist (ψ, (φ_{i})_{i}) = (id_{[1,t]} , (id_{M})_{i}) das neutrale Element in S_{t} ≀ S_{M} .

Zeigen wir, daß ξ surjektiv ist.

Sei F ∈ Aut(V_{M⊴G} Cat).

Sei ψ ∈ S_{t} definiert durch (g_{j}F)M =: g_{jψ}M für j ∈ [1, t]. Um zu zeigen, daß ψ bijektiv ist, genügt es zu zeigen, daß ψ injektiv ist. Seien j, j̃ ∈ [1, t] gegeben mit (g_{j}F)M = (gj̃F)M. Dann gibt es ein m ∈ M mit (g_{j}F)m = gj̃F. Also gibt es einen Morphismus (g_{j}F, m) von g_{j}F nach gj̃F. Das Bild unter F^{−} von diesem Morphismus geht also von g_{j} nach gj̃. Somit gibt es auch ein m′ ∈ M mit g_{j} m′ = gj̃. Also ist g_{j}M = gj̃M. Somit ist j = j̃.

Für j ∈ [1, t] sei nun φ_{jψ} definiert durch mφ_{jψ} := g_{jψ}^{−} · ((g_{j} m)F). Da (g_{j}F)M = g_{jψ}M, liegt mφ_{jψ} tatsächlich in M. Um zu zeigen, daß φ_{jψ} bijektiv ist, genügt es zu zeigen, daß φ_{jψ} injektiv ist. Seien m, m̃ ∈ M gegeben mit g_{jψ}^{−} · ((g_{j} m)F) = g_{jψ}^{−} · ((g_{j} m̃)F). Dann ist (g_{j} m)F = (g_{j} m̃)F. Da F auf der Objektmenge bijektiv ist, folgt g_{j} m = g_{j} m̃ und schließlich m = m̃.

Also ist (ψ, (φ_{i})_{i}) ∈ S_{t} ≀ S_{M} .

Wir haben noch zu zeigen, daß (ψ, (φ_{i})_{i}) tatsächlich auf F abgebildet wird. Da die Operation eines Autofunktors gemäß Bemerkung 21 durch seine Operation auf den Objekten bestimmt ist, genügt es, die Operation auf den Objekten von F und vom Bild dieses Elements zu vergleichen. Sei j ∈ [1, t]. Sei m ∈ M. Das Bild von (ψ, (φ_{i})_{i}) schickt g_{j} m in der Tat nach

g_{jψ}(mφ_{jψ}) = g_{jψ} · g_{jψ}^{−} · ((g_{j} m)F) = (g_{j} m)F .

5.2 Transformationen

Definition 27 Seien C und D Kategorien.

Seien C ⟶^{F} D und C ⟶^{F′} D Funktoren.

Eine Transformation a von F nach F′ ist ein Tupel von Morphismen

(XF ⟶^{Xa} XF′)_{X∈Ob(C)} ,

für welches

Xa ▲uF′ = uF ▲Y a

gilt für alle Morphismen X ⟶^{u} Y von C.

\xymatrix{XF \ar[r]^{Xa} \ar[d]_{uF} & XF′ \ar[d]^{uF′} \\ Y F \ar[r]^{Y a} & Y F′}

Diese Eigenschaft heiße auch die Natürlichkeit des Tupels (Xa)_{X∈Ob C}.

Oft wird eine Transformation a von F nach F′ wie folgt veranschaulicht.

[figure: C; F; F′; D; a]

Sind Funktoren und Transformationen

[figure: C; F; F′; F′′; D; a; a′]

gegeben, so definieren wir die vertikale Komposition

a ▲a′ = (Xa)_{X∈Ob C} ▲(Xa′)_{X∈Ob C} := (Xa ▲Xa′)_{X∈Ob C} ,

i.e. X(a ▲a′) = Xa ▲Xa′ für X ∈ Ob C. Ferner sei id_{F} := (id_{XF})_{X∈Ob C}. Eine Transformation a von F nach F′ heiße Isotransformation, wenn Xa ein Isomorphismus ist für alle X ∈ Ob C. Diesenfalls ist a^{−} := ((Xa)^{−})_{X∈Ob C} eine Isotransformation von F′ nach F. Es ist a ▲a^{−} = id_{F} und a^{−} ▲a = id_{F′}.

Beispiel 28 Wir setzen Beispiel 25 fort. Wir definieren eine Transformation von id_{Grp} nach (−)^{ab}. Für eine Gruppe G sei Ga : G → G^{ab} = G/G^{(1)}, g ↦ gG^{(1)}. Das Tupel (Ga)_{G∈Ob Grp} ist natürlich und damit eine Transformation, da für jeden Gruppenmorphismus G ⟶^{u} H sich

Ga ▲u^{ab} = u ▲Ha

ergibt, denn für g ∈ G ist zum einen g(Ga ▲u^{ab}) = (gG^{(1)})u^{ab} = guH^{(1)}, zum anderen g(u ▲Ha) = (gu)(Ha) = guH^{(1)}. Es ist a keine Isotransformation, wie wir mit Magma verifizieren wollen.

G := SymmetricGroup(3);
N := CommutatorSubgroup(G);
Gab,rho := quo<G | N>;
print Kernel(rho);

Bemerkung 29 (und Definition) Seien C, D und E Kategorien. Seien Funktoren und Transformationen

[figure: C; F; F′; D; G; G′; E; a; b]

gegeben. Es ist also a eine Transformation von F nach F′. Dann ist aG := (XaG)_{X∈Ob C} eine Transformation von F G nach F′G. Es ist also b eine Transformation von G nach G′. Dann ist F b := (XF b)_{X∈Ob C} eine Transformation von F G nach F G′. Wir setzen das horizontale Kompositum zu

a ∗ b := aG ▲F′b = F b ▲aG′ Es ist also a ∗ b eine Transformation von F G nach F′G′. Die darin behauptete Gleichheit gilt, da sich für X ∈ Ob(C)

X(aG ▲F′b) = (Xa)G ▲(XF′)b
= (XF)b ▲(Xa)G′
= X(F b ▲aG′)

ergibt wegen der Natürlichkeit von b. Lemma 30 Seien C, D, E und F Kategorien.

(1) Seien Funktoren und Transformationen

[figure: C; F; F′; F′′; F′′′; D; a; a′; a′′]

Dann ist a ▲(a′ ▲a′′) = (a ▲a′) ▲a′′.

(2) Seien Funktoren und Transformationen

[figure: C; F; F′; D; G; G′; E; H; H′; E; a; b; c]

gegeben. Dann ist a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

(3) Seien Funktoren und eine Transformation

[figure: C; F; F′; D; a]

gegeben. Dann ist id_{id_{C}} ∗a = a und a ∗ id_{id_{D}} = a.

(4) Seien Funktoren und Transformationen

[figure: C; F; F′; F′′; D; G; G′; G′′; E; a; a′; b; b′]

gegeben. Dann ist (a ∗ b) ▲(a′ ∗ b′) = (a ▲a′) ∗ (b ▲b′).

Beweis. Ad (1). Für X ∈ Ob C ist

X(a ▲(a′ ▲a′′)) = Xa ▲X(a′ ▲a′′) = Xa ▲(Xa′ ▲Xa′′)
= (Xa ▲Xa′) ▲Xa′′ = X(a ▲a′) ▲Xa′′
= X((a ▲a′) ▲a′′) .

Ad (2). Für X ∈ Ob C ist

\begin{aligned}X(a ∗ (b ∗ c)) & = & XaGH ▲XF′(b ∗ c) & = & XaGH ▲XF′bH ▲XF′G′c \\ & = & X(a ∗ b)H ▲XF′G′c & = & X((a ∗ b) ∗ c) . \end{aligned}

Ad (3). Für X ∈ Ob C ist

X(id_{id_{C}} ∗a) = X id_{id_{C}} F ▲X id_{C} a = id_{X} F ▲Xa = id_{XF} ▲Xa = Xa und

X(a ∗ id_{id_{D}}) = Xa id_{D} ▲XF′ id_{id_{D}} = Xa ▲ id_{XF′ id_{D}} = Xa .

Ad (4). Für X ∈ Ob C ist

X((a ∗ b) ▲(a′ ∗ b′)) = X(a ∗ b) ▲X(a′ ∗ b′)  = X(a ∗ b) ▲X(a′ ∗ b′)
= XaG ▲XF′b ▲Xa′G′ ▲XF′′b′ =^{b nat.} XaG ▲Xa′G ▲XF′′b ▲XF′′b′
= (Xa ▲Xa′)G ▲(XF′′b ▲XF′′b′) = X(a ▲a′)G ▲XF′′(b ▲b′)
= X(a ▲a′) ∗ (b ▲b′) .

Lemma 31 Sei C eine Kategorie. Dann ist

{ id_{C} ⟶^{a} F : es ist F ∈ Aut(C) und a eine Isotransformation }

eine Gruppe, mit der horizontalen Komposition (∗) als Multiplikation. Für a und a′ aus dieser Menge ist id_{C} ⟶^{a∗a′} F F′.

Beweis. Sind F, F′ ∈ Aut(C) und sind id_{C} ⟶^{a} F und id_{C} ⟶^{a′} F′ Isotransformationen, dann ist id_{C} ⟶^{a∗a′} F F′ mit F F′ ∈ Aut(C). Ferner ist mit a′ auch F a′ eine Isotransformation. Somit ist auch a ∗ a′ = a ▲F a′ eine Isotransformation. Dank Lemma 30.(2, 3) ist die Multiplikation assoziativ und hat ein neutrales Element id_{C} ⟶^{id_{id_{C}}} id_{C}. Bleibt zu zeigen, daß zu einer Isotransformation id_{C} ⟶^{a} F mit F ∈ Aut(C) ein Inverses bezüglich (∗) existiert. Schreibe a^{∗,−} := F^{−}a^{−} : id_{C} → F^{−}. Es wird

a ∗ a^{∗,−} = a ▲F a^{∗,−} = a ▲F F^{−}a^{−} = a ▲a^{−} = id_{id_{C}}

und

a^{∗,−} ∗ a = a^{∗,−} ▲F^{−}a = F^{−}a^{−} ▲F^{−}a = F^{−}(a^{−} ▲a) = F^{−} id_{F} = id_{id_{C}} .

5.3 Konstruktion des symmetrischen verschränkte Moduls

Definition 32 (und Behauptung) Sei C eine Kategorie. Sei S_{C} der verschränkte Modul aus folgenden Bestandteilen. Sei (S_{C})^{Gruppe} := Aut(C), mit der Komposition von Autofunktoren als Multiplikation. Sei (S_{C})^{Modul} := { id_{C} ⟶^{a} F : es ist F ∈ Aut(C) und a eine Isotransformation }, mit der Multiplikation (∗); cf. Lemma 31. Sei das Differential von S_{C} erklärt durch

(S_{C})^{Modul} ⟶^{f_{S_{C}}} (S_{C})^{Gruppe}
(id_{C} ⟶^{a} F) ↦ F

Sei die Operation von (S_{C})^{Gruppe} auf (S_{C})^{Modul} gegeben durch

(S_{C})^{Gruppe} ⟶^{α_{S_{C}}} Aut((S_{C})^{Modul})
H ↦ (a ↦ H^{−}aH =: a^{H}) .

Wir behaupten, daß dies in der Tat einen verschränkten Modul S_{C} definiert. Es heißt S_{C} der symmetrische verschränkte Modul auf der Kategorie C.

Der symmetrische verschränkte Modul auf einer Kategorie spielt dieselbe Rolle wie die symmetrische Gruppe auf einer Menge; cf. [3]. Den folgenden Beweis kenne ich aus [3]. Beweis. Dank 31 ist f_{S_{C}} ein Gruppenmorphismus. Für H ∈ (S_{C})^{Gruppe} gibt a ↦ H^{−}aH einen Gruppenmorphismus von (S_{C})^{Modul} nach (S_{C})^{Modul}, denn für id_{C} ⟶^{a} F und id_{C} ⟶^{a′} F′ in (S_{C})^{Modul} wird

\begin{aligned}H^{−}(a ∗ a′)H & = & H^{−}(a ▲F a′)H = H^{−}aH ▲H^{−}F a′H \\ & = & (H^{−}aH) ▲(H^{−}F H)(H^{−}a′H) = (H^{−}aH) ∗ (H^{−}a′H) . \end{aligned}

Dieser Gruppenmorphismus ist bijektiv, da er von a ↦ HaH^{−} beidseitig invertiert wird. Also ist a ↦ H^{−}aH in Aut((S_{C})^{Modul}). Für H, H′ ∈ (S_{C})^{Gruppe} erhalten wir das Kompositum a ↦ H^{−}aH ↦ H^{′−}H^{−}aHH′, und dies ist auch das Bild von HH′. Also ist α_{S_{C}} ein Gruppenmorphismus. Ad (VM 1). Sei id_{C} ⟶^{a} F in (S_{C})^{Modul}. Sei H ∈ (S_{C})^{Gruppe}. Es wird

(id_{C} ⟶^{a^{H}} H^{−}F H)f_{S_{C}} = H^{−}F H = F^{H} = ((id_{C} ⟶^{a} F)f_{S_{C}})^{H} .

Ad (VM 2). Seien id_{C} ⟶^{a} F und id_{C} ⟶^{b} G in (S_{C})^{Modul}. Zum einen wird

\begin{aligned}a^{b} & = & b^{∗,−} ∗ a ∗ b = G^{−}b^{−} ∗ a ∗ b = G^{−}b^{−} ▲G^{−}(a ∗ b) \\ & = & G^{−}b^{−} ▲ G^{−}(b ▲aG) = G^{−}b^{−} ▲G^{−}b ▲G^{−}aG = G^{−}aG , \end{aligned}

zum anderen wird

a^{b f_{S_{C}}} = a^{G} = G^{−}aG ,

was dasselbe ist.

Lemma 33 Sei G eine endliche Gruppe. Sei M ⊴ G. Schreibe t := |G|/|M| = |G/M|. Wähle g_{i} ∈ G für i ∈ [1, t] mit G = ⨆_{i∈[1,t]} g_{i}M. Wir betrachten die symmetrischen Gruppen H := S_{t} ⩽ S_{t} und K := S_{M} . Wir bilden das Kranzprodukt H ≀ K = S_{t} ≀ S_{M} ; cf. Definition 16. Dieses hat den Normalteiler S_{M}^{×t}. Dann ist der verschränkte Modul

S_{V_{M⊴G} Cat}

isomorph zum verschränkten Modul

V_{S_{M}^{×t} ⊴ S_{t}≀S_{M}} .

In diesem Sinne kann eine Untersuchung von S_{V_{M⊴G} Cat} , i.e. eine Untersuchung des symmetrischen verschränkten Moduls der Kategorie, die zu einem verschränkten Modul der Form V_{M⊴G} gehört, nichts Neues zutagefördern. Nichtsdestoweniger basiert die Grundidee des Programms SymmetricCrossedModule des nächsten Abschnitts §5.4 auf diesem einfachen Fall.

Beweis. Dank Lemma 26 und Bemerkung 13 genügt es zu zeigen, daß das Differential von S_{V_{M⊴G} Cat} injektiv ist und als Bild den Normalteiler (S_{M}^{×t})ξ von (S_{t} ≀ S_{M})ξ hat. Schreibe C := V_{M⊴G} Cat. Zeigen wir die Injektivität des Differentials von S_{C}. Sei F ∈ Aut(C). Seien id_{C} ⟶^{a} F und id_{C} ⟶^{ã} F Isotransformationen. Wir haben a =^{!} ã zu zeigen. Sei g ∈ Ob(C) = G. Wir haben ga =^{!} gã zu zeigen. Nun sind aber ga und gã beides Morphismen von g id_{C} = g nach gF. Dank Bemerkung 21 ist also ga = gã. Zeigen wir, daß das Differential von S_{C} als Bild den Normalteiler (S_{M}^{×t})ξ von (S_{t} ≀ S_{M})ξ hat. Sei zum einen F ∈ Aut(C) und sei id_{C} ⟶^{a} F eine Isotransformationen. Wir haben zu zeigen, daß F in (S_{M}^{×t})ξ liegt. I.e. wir haben zu zeigen, daß (g_{j}m)F ∈^{!} g_{j}M liegt für j ∈ [1, t] und m ∈ M ; cf. Lemma 26, Bemerkung 13. Nun verläuft der Morphismus (g_{j}m)a von (g_{j}m) id_{C} = g_{j}m nach (g_{j}m)F. Also ist (g_{j}m)M = (g_{j}m)F M, i.e. (g_{j}m)F ∈ g_{j}M ; cf. Bemerkung 13. Sei zum anderen (φ_{i})_{i} ∈ S_{M}^{×t}. Wir haben zu zeigen, daß F := (id, (φ_{i})_{i})ξ im Bild des Differentials von S_{C} liegt. Es ist nun (g_{j}m)F ∈ g_{j}M = (g_{j}m)M für j ∈ [1, t] und m ∈ M, sodaß wir das Tupel

(g → gF )_{g∈Ob(C) = G}

von Isomorphismen betrachten können; cf. Bemerkung 13. Die Natürlichkeit dieses Tupels folgt daraus, daß es in C zwischen zwei Objekten höchstens einen Morphismus gibt; cf. Bemerkung 13.

Folglich liegt eine Isotransformation von id_{C} nach F vor, die unter dem Differential auf F abgebildet wird.

5.4 Ein etwas zu großes Programm

Algorithmus 34

Folgendes Programm berechnet den symmetrischen verschränkten Modul auf der zu einem verschränkten Modul V = (M, G, α, f) gehörigen Kategorie V Cat.

Genauer gesagt, es würde ihn berechnen, wenn die Rechnerkapazitäten ausreichen würden für die Art, wie es programmiert wurde.

SymmetricCrossedModule := function(M,G,alpha,f);
Ob  := Set(G);
Gseq := [x : x in G];
Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
invert := map< Mor -> Mor | x :-> <x[1] * (x[2]@f) , x[2]^-1> >;
MFP,xi := FPGroup(M);
numb0 := map<{-1,0,1} -> {1,2} | [<-1,1>,<0,2>,<1,2>]>;
numb := map< Integers() -> {1,2} | z :-> Sign(z)@numb0 >;
m_seq := function(m)
 return ElementToSequence(m@@xi);
end function;
nog := NumberOfGenerators(MFP);
M_gen := [(MFP.i)@xi : i in [1..nog]];
Mor_gen := CartesianProduct(Set(G),{1..nog});
Mf := Image(f);
Kf := Kernel(f);
Tr0 := Transversal(G,Mf);
Tr := [x^-1 : x in Tr0]; // Linksnebenklassenreprsentanten
TrRep := map<G -> Tr | g :-> [x : x in Tr | g^-1 * x in Mf][1]>;
MfRep := map<G -> Mf | g :-> Mf!((g@TrRep)^-1 * g)>;
sect := map<Mf -> M | n :-> [m : m in M | m@f eq n][1]>;
STr := SymmetricGroup(Set(Tr));
phi := Action(GSet(STr));
SMf := SymmetricGroup(Set(Mf));
psi := Action(GSet(SMf));
DPSMf := CartesianProduct([SMf : i in [1..#Tr]]);
SKf := SymmetricGroup(Set(Kf));
eta := Action(GSet(SKf));
DPSKf_inner := CartesianProduct([SKf : i in [1..nog]]);
DPSKf_outer := CartesianProduct([DPSKf_inner : i in [1..#G]]);
DPKf := CartesianProduct([Kf : i in [1..#G]]);
counter := 0; // spy
ListOfAutofunctors := [];

ListOfIsotrafos := [];
for s in STr do
for smftup in DPSMf do
F_Ob := map<Ob -> Ob | g :->  <g@TrRep,s>@phi * <g@MfRep,smftup[Index(Tr,g@TrRep)]>@psi > ;
SetOfAttempts := {};
for skftup in DPSKf_outer do
counter +:= 1; // spy
sk := map< Mor_gen -> SKf | x :-> skftup[Index(Gseq,x[1])][x[2]] >;
F_Mor_gen_plus
:= map< Mor_gen -> Mor | x :-> <x[1]@F_Ob, ( (x[1]@F_Ob)^-1 * (x[1] * M_gen[x[2]]@f)@F_Ob )@sect
                                 * < Kf!((M_gen[x[2]]@f@sect)^-1 * M_gen[x[2]]), x@sk >@eta > >;
F_Mor_gen_plus_list := {<x,x@F_Mor_gen_plus> : x in Mor_gen};
if not F_Mor_gen_plus_list in SetOfAttempts then
SetOfAttempts join:= { F_Mor_gen_plus_list };
F_Mor_gen_minus
:= map< Mor_gen -> Mor | x :-> < x[1] * (M_gen[x[2]]@f)^-1 , x[2] >@F_Mor_gen_plus@invert >;
F_Mor_gen := [F_Mor_gen_minus,F_Mor_gen_plus];
F_Mor := map< Mor -> Mor | x :-> < x[1]@F_Ob ,
       &*([Id(M)] cat [(< x[1] * &*([Id(M)] cat [ M_gen[Abs(i)]^Sign(i)
       where i is (x[2]@m_seq)[j] : j in [1..l-1]])@f ,
       Abs((x[2]@m_seq)[l]) >@F_Mor_gen[(x[2]@m_seq)[l]@numb])[2] :
       l in [1..#(x[2]@m_seq)]]) > >;
is_functor := true;
for y in CartesianProduct([G,M,M]) do
if not (<y[1], y[2] * y[3]>@F_Mor)[2]
   eq (<y[1],y[2]>@F_Mor)[2] * (<y[1] * y[2]@f, y[3]>@F_Mor)[2] then
is_functor := false;
// print "spy nein", counter;
break y;
end if;
end for;
if is_functor and #[x@F_Mor : x in Mor] eq #{x@F_Mor : x in Mor} then
//print "spy", &and[w[1]*(w[2]@f) eq (z[1]*(z[2]@f))@F_Ob where w is z@F_Mor : z in Mor]; // Probe
print "spy autofunctor", counter;
ListOfAutofunctors cat:= [<F_Ob,F_Mor>];
if s eq Id(STr) then
// nun untersuchen wir Isotransformationen
for k_tup in DPKf do
 candidate_trafo
   := map<Ob -> Mor | g :-> < g, (Mf!(g^-1 * g@F_Ob))@sect * k_tup[Index(Gseq,g)]> >;
 is_trafo := true;
 for z in Mor do
  if not (z[1]@candidate_trafo)[2] * (z@F_Mor)[2]
      eq z[2] * ((z[1]*(z[2]@f))@candidate_trafo)[2] then
   is_trafo := false;
   break z;
  end if;
 end for;
 if is_trafo then
  print "spy isotrafo", counter;
  ListOfIsotrafos cat:= [<candidate_trafo,<F_Ob,F_Mor>>];
 end if;
end for;

      end if;
     end if;
    end if;
   end for;
  end for;
 end for;
 return <ListOfAutofunctors, ListOfIsotrafos>;
end function;

Beispiel 35 Werde zu Testzwecken der verschränkte Modul V_{M→Aut(M)} aus Beispiel 10 nochmal herangezogen.

T := SymmetricGroup(4);
M := sub<T | T!(1,2,3,4), T!(1,3)>;
GA := AutomorphismGroup(M);
GFP,phi := FPGroup(GA);
G,psi := PermutationGroup(GFP);
alpha := psi^-1 * phi; // von G nach GA
f0 := hom< M -> AutomorphismGroup(M) | x :-> hom<M->M | m :-> m^x > >;
f := hom<M -> G | m :-> [x : x in G | m@f0 eq x@alpha][1] > ;

Das Programm aus Algorithmus 34 kann mittels

SCM := SymmetricCrossedModule(M,G,alpha,f);

getestet werden. Auf den momentan verfügbaren Maschinen führt es aus Größen- und Zeitgründen für diesen verschränkten Modul nicht zum Ziel.

Wir versuchen nun trotzdem, Einzelresultate herauszuholen; einzelne Autofunktoren, einzelne Isotransformationen.

Ob  := Set(G);
Gseq := [x : x in G];
Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
invert := map< Mor -> Mor | x :-> <x[1] * (x[2]@f) , x[2]^-1> >;
MFP,xi := FPGroup(M);
numb0 := map<{-1,0,1} -> {1,2} | [<-1,1>,<0,2>,<1,2>]>;
numb := map< Integers() -> {1,2} | z :-> Sign(z)@numb0 >;
m_seq := function(m)
 return ElementToSequence(m@@xi);
end function;
nog := NumberOfGenerators(MFP);
M_gen := [(MFP.i)@xi : i in [1..nog]];
Mor_gen := CartesianProduct(Set(G),{1..nog});
Mf := Image(f);
Kf := Kernel(f);
Tr0 := Transversal(G,Mf);
Tr := [x^-1 : x in Tr0]; // Linksnebenklassenreprsentanten
TrRep := map<G -> Tr | g :-> [x : x in Tr | g^-1 * x in Mf][1]>;

MfRep := map<G -> Mf | g :-> Mf!((g@TrRep)^-1 * g)>;
sect := map<Mf -> M | n :-> [m : m in M | m@f eq n][1]>;
STr := SymmetricGroup(Set(Tr));
phi := Action(GSet(STr));
SMf := SymmetricGroup(Set(Mf));
psi := Action(GSet(SMf));
DPSMf := CartesianProduct([SMf : i in [1..#Tr]]);
SKf := SymmetricGroup(Set(Kf));
eta := Action(GSet(SKf));
DPSKf_inner := CartesianProduct([SKf : i in [1..nog]]);
DPSKf_outer := CartesianProduct([DPSKf_inner : i in [1..#G]]);
DPKf := CartesianProduct([Kf : i in [1..#G]]);
STr_list := [x : x in STr];
DPSMf_list := [x : x in DPSMf];
DPSKf_outer_list := [x : x in DPSKf_outer];
STr_length := #STr_list;
DPSMf_length := #DPSMf_list;
DPSKf_outer_length := #DPSKf_outer_list;
i := 1; // in [1..STr_length]
j := 1; // in [1..DPSMf_length]
k_start := 1; k_end := 300; // Intervall in [1..DPSKf_outer_length]
s := STr_list[i];
smftup := DPSMf_list[j];
SymmetricCrossedModule_stepwise := function(M,G,alpha,f,s,smftup,DPSKf_outer_list,k_start,k_end);
 Ob := Set(G);
 ListOfAutofunctors := [];
 ListOfIsotrafos := [];
 F_Ob := map<Ob -> Ob | g :-> <g@TrRep,s>@phi * <g@MfRep,smftup[Index(Tr,g@TrRep)]>@psi> ;
 SetOfAttempts := {};
 for k in [k_start..k_end] do
  print "spy k =", k;
  skftup := DPSKf_outer_list[k];
  sk := map< Mor_gen -> SKf | x :-> skftup[Index(Gseq,x[1])][x[2]] >;
  F_Mor_gen_plus
    := map< Mor_gen -> Mor | x :-> <x[1]@F_Ob, ( (x[1]@F_Ob)^-1 * (x[1] * M_gen[x[2]]@f)@F_Ob )@sect
                                     * < Kf!((M_gen[x[2]]@f@sect)^-1 * M_gen[x[2]]), x@sk >@eta > >;
  F_Mor_gen_plus_list := {<x,x@F_Mor_gen_plus> : x in Mor_gen};
  if not F_Mor_gen_plus_list in SetOfAttempts then
   SetOfAttempts join:= { F_Mor_gen_plus_list };
   F_Mor_gen_minus
     := map< Mor_gen -> Mor | x :-> < x[1] * (M_gen[x[2]]@f)^-1 , x[2] >@F_Mor_gen_plus@invert >;
   F_Mor_gen := [F_Mor_gen_minus,F_Mor_gen_plus];
   F_Mor := map< Mor -> Mor | x :-> < x[1]@F_Ob , &*([Id(M)] cat [(< x[1] * &*([Id(M)]
                       cat [ M_gen[Abs(i)]^Sign(i) where i is (x[2]@m_seq)[j] : j in [1..l-1]])@f ,
        Abs((x[2]@m_seq)[l]) >@F_Mor_gen[(x[2]@m_seq)[l]@numb])[2] : l in [1..#(x[2]@m_seq)]]) > >;
   is_functor := true;
   for y in CartesianProduct([G,M,M]) do
    if not (<y[1], y[2] * y[3]>@F_Mor)[2]

  eq (<y[1],y[2]>@F_Mor)[2] * (<y[1] * y[2]@f, y[3]>@F_Mor)[2] then
is_functor := false;
break y;
end if;
end for;
if is_functor and #[x@F_Mor : x in Mor] eq #{x@F_Mor : x in Mor} then
print "spy autofunctor";
ListOfAutofunctors cat:= [<F_Ob,F_Mor>];
if s eq Id(STr) then
for k_tup in DPKf do
candidate_trafo
   := map<Ob -> Mor | g :-> < g, (Mf!(g^-1 * g@F_Ob))@sect * k_tup[Index(Gseq,g)]> >;
is_trafo := true;
for z in Mor do
 if not (z[1]@candidate_trafo)[2] * (z@F_Mor)[2]
     eq z[2] * ((z[1]*(z[2]@f))@candidate_trafo)[2] then
  is_trafo := false;
  break z;
 end if;
end for;
if is_trafo then
 print "spy isotrafo";
 ListOfIsotrafos cat:= [<candidate_trafo,<F_Ob,F_Mor>>];
end if;
end for;
end if;
end if;
end if;
end for;
return <ListOfAutofunctors, ListOfIsotrafos>;
end function;

Dieser kann nun wie folgt aufgerufen werden.

SCM_stepwise
:= SymmetricCrossedModule_stepwise(M,G,alpha,f,s,smftup,DPSKf_outer_list,k_start,k_end);

Mit den oben gewählten Einstellungen liefert das Programm nun den identischen Autofunktor für k = 1 und einen weiteren Autofunktor für k = 271.

Wir überprüfen ersteres.

Id := SCM_stepwise[1][1];
print &and[g@Id[1] eq g : g in Ob];
print &and[x@Id[2] eq x : x in Mor];

Der zweite gefundene Autofunktor hat Ordnung 2.

F271 := SCM_stepwise[1][2];

print &and[g@F271[1] eq g : g in Ob];
print &and[x@F271[2] eq x : x in Mor];
print &and[g@(F271[1]*F271[1]) eq g : g in Ob];
print &and[x@(F271[2]*F271[2]) eq x : x in Mor];

Wir haben ferner einige Isotrafos gefunden.

IdId_1   := SCM_stepwise[2][1];
IdId_2   := SCM_stepwise[2][2];
IdId_3   := SCM_stepwise[2][3];
IdId_4   := SCM_stepwise[2][4];
IdF271_1 := SCM_stepwise[2][5];
IdF271_2 := SCM_stepwise[2][6];
IdF271_3 := SCM_stepwise[2][7];
IdF271_4 := SCM_stepwise[2][8];

Die Variablen s, smftup und das Intervall k_start,k_end können nun wie oben beschrieben variiert werden.

Zum Abspeichern einzelner Objekte brauchen wir folgende Prozedur.

PFM := procedure(Datei, Bezeichnung, X)
 PrintFile(Datei, Bezeichnung);
 PrintFile(Datei, ":=");
 PrintFileMagma(Datei, X);
 PrintFile(Datei, ";\n");
end procedure;

Wir speichern Id, F271 und, sagen wir, IdF271_3 noch im File experiment im selben Verzeichnis, in welchem wir Magma aufgerufen haben.

F271_Ob := [<g,g@F271[1]> : g in Ob];
F271_Mor := [<x,x@F271[2]> : x in Mor];
IdF271_3_OM := [<g,g@IdF271_3[1]> : g in Ob];
ex := "experiment"; // Dateiname
PFM(ex, "Ob", Ob);
PFM(ex, "Mor", Mor);
PFM(ex, "F271_Ob", F271_Ob);
PFM(ex, "F271_Mor", F271_Mor);
PFM(ex, "IdF271_3_OM", IdF271_3_OM);

Mittels

load "experiment";
F271 := <map<Ob -> Ob | F271_Ob>, map<Mor -> Mor | F271_Mor>>;
IdF271_3 := <map<Ob -> Mor | IdF271_3_OM>, F271>;

können die Daten wieder hergestellt werden. Falls man diese Daten weiter verarbeiten möchte, sollte man oft auch den verschränkten Modul (M, G, α, f) wie oben an Magma übermitteln.

Beispiel 36 Werde wieder der verschränkte Modul V := V_{M→Aut(M)} aus Beispiel 10 betrachtet.

T := SymmetricGroup(4);
M := sub<T | T!(1,2,3,4), T!(1,3)>;
GA := AutomorphismGroup(M);
GFP,phi := FPGroup(GA);
G,psi := PermutationGroup(GFP);
alpha := psi^-1 * phi; // von G nach GA
f0 := hom< M -> AutomorphismGroup(M) | x :-> hom<M->M | m :-> m^x > >;
f := hom<M -> G | m :-> [x : x in G | m@f0 eq x@alpha][1] > ;
Ob  := Set(G);
Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
load "experiment";
F271 := <map<Ob -> Ob | F271_Ob>, map<Mor -> Mor | F271_Mor>>;
IdF271_3 := <map<Ob -> Mor | IdF271_3_OM>, F271>;

Zur Probe schauen wir uns die Operation von F271 auf einem kommutativen Dreieck in V Cat an. Wir kürzen wie ab in Beispiel 23.

a := M!(1,2,3,4);
b := M!(1,3);
c := G!(1,3,2,4);
d := G!(3,4);

Die Rechnung

print c*((a*b)@f);
print c^3*d;
print c^3*d*(a@f);
print c*d;
print c*(b@f);

liefert das kommutative Dreieck

\xymatrix{ & c^{3}d \ar[dr]^{(c^{3}d,a)} \\ c \ar[ur]^{(c,ab)} \ar[rr]_{(c,b)} &  & cd .}

I.e. es ist der horizontale Morphismus das Kompositum der anderen beiden. Magma gibt die Operation von F271 darauf wie folgt.

print &and[x eq x@F271[1] : x in Ob];
print <c,a*b>@F271[2];
print <c^3*d,a>@F271[2];
print <c,b>@F271[2];
print a^3*b, a^3;

Es resultiert in der Tat das kommutative Dreieck

\xymatrix{ & c^{3}d \ar[dr]^{(c^{3}d,a^{3})} \\ c \ar[ur]^{(c,a^{3}b)} \ar[rr]_{(c,b)} &  & cd .}

Ferner können wir zur Illustration ein kommutatives Viereck aus der Isotransformation IdF271_3 gewinnen. Vertikal links steht der Morphismus (c, ab), gesehen als sein eigenes Bild unter dem identischen Funktor. Vertikal rechts steht das Bild von dieses Morphismus unter F271, zu erhalten als <c,a>@F271[2]. Horizontal stehen die Einträge der Isotransformation IdF271_3, oben der Eintrag am oberen linken Objekt, geliefert von c@IdF271_3[1], unten der Eintrag am unteren linken Objekt, geliefert von

(c^3*d)@IdF271_3[1].

\xymatrix{c \ar[d]_{(c,ab)} \ar[r]^{(c,1)} & c \ar[d]^{(c,a^{3}b)} \\ c^{3}d \ar[r]_{(c^{3}d,a^{2})} & c^{3}d}

In der Tat ist dieses Viereck kommutativ, da in M sich ab · a^{2} = 1 · a^{3}b ergibt.

Algorithmus 37

Folgendes Programm berechnet die Ordnung eines Autofunktors.

OrderAutofunctor := function(F) // F: Autofunktor
 t := 1;
 while not (&and[g@(F[1]^t) eq g : g in Ob]
        and &and[x@(F[2]^t) eq x : x in Mor]) do
  t +:= 1;
 end while;
 return t;
end function;

Folgendes Programm berechnet das Produkt zweier Isotrafos aus einem symmetrischen verschränkten Modul.

MultiplyIsotrafos := function(a,b)
 return
  < map< Ob -> Mor | [<g, <g,(g@(a[1]))[2] * ( g@(a[2][1])@(b[1]) )[2]> > : g in Ob] >,
                                             <a[2][1] * b[2][1], a[2][2] * b[2][2]> >;
end function;

Folgendes Programm berechnet die Ordnung einer Isotransformation aus einem symmetrischen verschränkten Modul.

OrderIsotrafo := function(a)
 k := 1;
 aprod := a;
 while not &and[(g@(aprod[1]))[2] eq M!1 : g in Ob] do
  k +:= 1;
  aprod := MultiplyIsotrafos(a,aprod);
 end while;
 return k;
end function;

Beispiel 38

Wir setzen Beispiel 35 unter Verwendung der Programme aus Algorithmus 37 fort.

Es liefert

OrderAutofunctor(F271);

die Ordnung 2 des Autofunktors F271, wie bereits in loc. cit. bestimmt.

Ferner liefert

OrderIsotrafo(IdF271_3);

die Ordnung 2 der Isotransformation IdF271_3.

6 Die Einbettung von Cayley-Truong via Magma

Das folgende Analogon des Lemmas von Cayley [1] kenne ich von Truong [3].

Lemma 39 (Cayley-Truong) Sei V = (M, G, α, f) ein verschränkter Modul.

Für x ∈ G erhalten wir einen Autofunktor

\begin{matrix}V Cat & ⟶^{xγ} & V Cat \\ ( \xymatrix{g \ar[d]_{(g,m)} \\ g(mf)} ) & ↦ & ( \xymatrix{gx \ar[d]^{(gx,m^{x})} \\ g(mf)x} ) . \end{matrix}

So wird γ: G → (S_{V Cat})^{Gruppe} ein injektiver Gruppenmorphismus. Für y ∈ M erhalten wir die Isotransformation

yμ := (g ⟶^{(g,y)} g(yf))_{g∈G}

von id_{V Cat} nach (yf)γ. So wird μ: M → (S_{V Cat})^{Modul} ein injektiver Gruppenmorphismus. Insgesamt wird (γ, μ) ein Morphismus verschränkter Moduln von V nach S_{V Cat} , der aus zwei injektiven Gruppenmorphismen besteht.

Beweis. Zunächst sehen wir, daß γ ein injektiver Gruppenmorphismus ist. Es ist für y ∈ M das Tupel (g ⟶^{(g,y)} g(yf))_{g∈G} eine Isotransformation von id_{V Cat} nach (yf)γ, da für einen Morphismus (g, m) das Viereck

\xymatrix{g \ar[r]^{(g,y)} \ar[d]_{(g,m)} & g(yf) \ar[d]^{(g(yf),m^{yf})} \\ g(mf) \ar[r]_{(g(mf),y)} & g(mf)(yf)}

kommutiert, unter Verwendung von m^{yf} = m^{y}. Es ist μ ein injektiver Gruppenmorphismus, da für y, y′ ∈ M sich bei g ∈ G die Gleichheit

g((yμ) ∗ (y′μ)) = g((yμ) ▲((yf)γ)(y′μ))
= (g, y) ▲g((yf)γ)(y′μ)
= (g, y) ▲(g(yf))(y′μ)
= (g, y) ▲(g(yf), y′)
= (g, yy′)
= g((yy′)μ)

ergibt, was (yμ) ∗ (y′μ) = (yy′)μ nach sich zieht. Um zu zeigen, daß (γ, μ) ein Morphismus verschränkter Moduln ist, verifizieren wir die Eigenschaften aus Definition 11. Ad (MVM 1). Für y ∈ M ist (yμ)f_{S_{V Cat}} = (yf)γ, da yμ Ziel (yf)γ hat. Ad (MVM 2). Für y ∈ M und x ∈ G ist bei g ∈ G zum einen

g((y^{x})μ) = (g, y^{x}) ,

zum anderen g((yμ)^{(xγ)}) = g(xγ)^{−}(yμ)(xγ) = (gx^{−})(yμ)(xγ) = (gx^{−}, y)(xγ) = (gx^{−}x, y^{x}) = (g, y^{x}) , was dasselbe ist.

Algorithmus 40

gamma := function(x,M,G,alpha,f) // x in G
 Ob  := Set(G);
 Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
 F_Ob := map<Ob -> Ob | g :-> g*x >;
 F_Mor := map<Mor -> Mor | u :-> <u[1]*x,u[2]@(x@alpha)> >;
 if not &and[(<y[1], y[2] * y[3]>@F_Mor)[2] eq
      (<y[1],y[2]>@F_Mor)[2] * (<y[1] * y[2]@f, y[3]>@F_Mor)[2] :
      y in CartesianProduct([G,M,M])] then
  print "Kein Funktor";
 end if;// Probe
 return <F_Ob,F_Mor>;
end function;

Man könnte Ob und Mor auch als globale Variablen verwenden und der Funktion nicht in Form eines verschränkten Moduls mit übergeben. Das setzt dann voraus, daß man den Überblick über die bereits global definierten Variablen hat.

mu := function(y,M,G,alpha,f) // y in M
 Ob  := Set(G);
 Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
 F := gamma(y@f,M,G,alpha,f);
 trafo := map<Ob -> Mor | g :-> <g,y> >;
 if not &and[(z[1]@trafo)[2] * (z@F[2])[2]
          eq z[2] * ((z[1]*(z[2]@f))@trafo)[2] : z in Mor] then
   print "Keine Transformation";
 end if; // Probe
 return <trafo, F>;
end function;

Beispiel 41

Wir verwenden wieder unseren verschränkten Modul V_{M→Aut(M)} aus Beispiel 10.

T := SymmetricGroup(4);
M := sub<T | T!(1,2,3,4), T!(1,3)>;
GA := AutomorphismGroup(M);
GFP,phi := FPGroup(GA);
G,psi := PermutationGroup(GFP);
alpha := psi^-1 * phi; // von G nach GA
f0 := hom< M -> AutomorphismGroup(M) | x :-> hom<M->M | m :-> m^x > >;
f := hom<M -> G | m :-> [x : x in G | m@f0 eq x@alpha][1] > ;

Wir laden Daten aus Beispiel 35 wieder ein.

load "experiment";
F271 := <map<Ob -> Ob | F271_Ob>, map<Mor -> Mor | F271_Mor>>;
IdF271_3 := <map<Ob -> Mor | IdF271_3_OM>, F271>;

Das Bild von gamma wird von

image_gamma := [gamma(x,M,G,alpha,f) : x in G];

geliefert. Wir wollen abgleichen, ob bestimmte Autofunktoren auf dieser Liste stehen.

IsEqualAutofunctor := function(F1,F2,M,G,alpha,f)
 Ob  := Set(G);
 Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
 return &and[g@F1[1] eq g@F2[1] : g in Ob] and &and[x@F1[2] eq x@F2[2] : x in Mor];
end function;

Ob nun F271 auf dieser Liste steht, entscheiden wir mit folgendem Befehl.

&or[IsEqualAutofunctor(F271,image_gamma[i],M,G,alpha,f) : i in [1..Order(G)]];

Er steht nicht auf der Liste, liegt also nicht im Bild von gamma. Das Bild von mu wird von

image_mu := [mu(y,M,G,alpha,f) : y in M];

geliefert. Wir wollen abgleichen, ob bestimmte Autofunktoren auf dieser Liste stehen.

IsEqualIsotrafo := function(IdF1,IdF2,M,G,alpha,f)
 Ob  := Set(G);
 Mor := CartesianProduct(Set(G),Set(M));
 return IsEqualAutofunctor(IdF1[2],IdF2[2],M,G,alpha,f)
        and &and[g@IdF1[1] eq g@IdF2[1] : g in Ob];
end function;

Ob nun IdF271_3 auf dieser Liste steht, entscheiden wir mit folgendem Befehl.

&or[IsEqualIsotrafo(IdF271_3,image_mu[i],M,G,alpha,f) : i in [1..Order(M)]];

Sie steht nicht auf der Liste, liegt also nicht im Bild von mu.

7 Aufgabenstellung

Für einen verschränkten Modul V := (M, G, α, f) sollen Autofunktoren von V Cat und Isotransformationen von id_{V Cat} in Autofunktoren gefunden werden. Mit anderen Worten, es sollten Elemente der Gruppe (S_{V Cat})^{Gruppe}, also Autofunktoren von V Cat, und Elemente der Gruppe (S_{V Cat})^{Modul}, also Isotransformationen von id_{V Cat} in Autofunktoren, gefunden werden. Die Ordnungen dieser Elemente sollen betrachtet werden. Es soll untersucht werden, ob die gefundenen Elemente im Bild von Cayley-Truong liegen. Eine graphische Darstellung eines Teils der Kategorie V Cat kann helfen. Der Fall M = D_{8} und V = V_{M→Aut(M)} wird in den grün markierten Beispielen durchgeführt. Diese Beispiele eignen sich zur Nachahmung.

Literatur

[1] Cayley, A., On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ϑ^{n} = 1, Philos. Mag. 7 (4), p. 40–47, 1854.

[2] Bosma, W.; Cannon, J.J.; Fieker, C.; Steel, A. (eds.), Handbook of Magma functions, Edition 2.16, 2010; cf. magma.maths.usyd.edu.au, magma.maths.usyd.edu.au/calc.

[3] Truong, M., Masterarbeit, im Entstehen begriffen.

[4] Whitehead, J.H.C., Combinatorial Homotopy II, Bull. Am. Math. Soc. 55 (5), p. 453–496, 1949.