M. Künzer Abgabe bis Mi 10.01.18

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 9

Aufgabe 33 (1+3+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Seien 𝔟, 𝔠 ∈ Ideale(S). Schreibe 𝔞 := 𝔟 ∩ 𝔠. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Für 𝔡 ∈ Ideale(S) ist (𝔞 : 𝔡) = (𝔟 : 𝔡) ∩ (𝔠 : 𝔡).

(2) Sei x ∈ S mit (𝔞 : (x)) prim gegeben. Es ist (𝔠 : (x)) ⊆ (𝔟 : (x)) oder (𝔠 : (x)) ⊇ (𝔟 : (x)).

(3) Es ist Ass(S, 𝔞) ⊆ Ass(S, 𝔟) ∪ Ass(S, 𝔠). Aufgabe 34 ((3+3+2) + (3+3+2) Punkte) Seien X, Y, Z Elemente.

(i) Zu zeigen ist, daß eine reduzierte Primärzerlegung vorliegt. (ii) Zu finden ist eine alternative reduzierte Primärzerlegung. (iii) Satz 105 ist im vorliegenden Fall zu verifizieren.

(1) (X)^{2} ∩ (X, Y)^{3} in C[X, Y].

(2) (X, Y) ∩ (X, Y, Z)^{2} in C[X, Y, Z]. Aufgabe 35 (3+1 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei R ein kommutativer Ring. Zu zeigen ist unter Verwendung von Satz 105, daß in einer integren Hauptidealalgebra S über R jedes Ideal genau eine reduzierte Primärzerlegung besitzt.

(2) Man finde die reduzierte Primärzerlegung von (180) in der Z-Algebra Z. Aufgabe 36 (3 Punkte) Man finde eine lokale kommutative C-Algebra, in welcher das Nullideal eine reduzierte Primärzerlegung mit zwei Teilnehmern hat. Kann diese integer sein?

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