M. Künzer Abgabe bis Mi 20.12.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 8

Aufgabe 30 (6 Punkte) Wir rechnen in Ẑ_{(5)} .

(1) Man berechne −2.

(2) Man berechne 1/3.

(3) Man berechne (⌊1|1|1|1| … ⌋)^{2}. Aufgabe 31 (12 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei X ein Element. Sei S eine komplette diskrete Bewertungsalgebra über R mit maximalem Ideal (p). Sei (s_{n})_{n⩾0} eine Folge von Elementen von S. Es heiße (s_{n})_{n⩾0} eine Cauchyfolge, falls für alle k ∈ Z_{⩾0} ein N ∈ Z_{⩾0} so existiert, daß für alle m, n ∈ Z_{⩾N} sich s_{n} ≡_{p^{k}} s_{m} ergibt. Es heiße s ein Grenzwert der Folge (s_{n})_{n⩾0} , falls für alle k ∈ Z_{⩾0} ein N ∈ Z_{⩾0} so existiert, daß für alle n ∈ Z_{⩾N} sich s_{n} ≡_{p^{k}} s ergibt. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Jede Cauchyfolge in S hat einen eindeutigen Grenzwert.

(2) Jede Folge in S, die einen Grenzwert hat, ist eine Cauchyfolge.

(3) Sei f(X) ∈ S[X] ein Polynom. Sei (s_{n})_{n⩾0} eine Folge in S mit Grenzwert s.

Dann ist (f(s_{n}))_{n⩾0} eine Folge mit Grenzwert f(s).

(4) Sei f(X) = ∑_{i⩾0} a_{i}X^{i} ∈ S[X]. Setze f′(X) := ∑_{i⩾1} ia_{i}X^{i−1}.

Seien x, y ∈ S. Dann ist f(x + y) − f(x) − yf′(x) ∈ (y^{2}).

(5) Sei f(X) ∈ S[X] ein Polynom. Sei t ∈ S existent mit f(t) ≡_{p} 0, aber f′(t) ≢_{p} 0. Dann gibt es ein s ∈ S mit f(s) = 0. (Hinweis : s_{k+1} := s_{k} − \frac{f(s_{k})}{f′(s_{k})} , also Newtonverfahren.)

(6) Es gibt in Ẑ_{(5)} ein Element s mit s^{2} = −1 und s ≡_{5^{3}} 57. Aufgabe 32 (4+2+2+2 Punkte) Sei K ein Körper. Sei T ein Element. Sei K[[T]] := { (a_{i})_{i⩾0} : a_{i} ∈ K für i ∈ Z_{⩾0} }. Wir schreiben auch (a_{i})_{i} := (a_{i})_{i⩾0} . Sei α: K → K[[T]]: x ↦ (x∂_{0,i})_{i}. Wir setzen (a_{i})_{i} + (b_{i})_{i} := (a_{i} + b_{i})_{i} und (a_{i})_{i} · (b_{i})_{i} := (∑_{j∈[0,i]} a_{j}b_{i−j})_{i} für (a_{i})_{i} , (b_{i})_{i} ∈ K[[T]]. Wir schreiben oft ∑_{i⩾0} a_{i}T^{i} := (a_{i})_{i}. Insbesondere ist T = (∂_{1,i})_{i}. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist K[[T]] = (K[[T]], α) eine diskrete Bewertungsalgebra über K mit maximalem Ideal (T).

(2) Wir haben den Isomorphismus K[T]/(T^{k}) → K[[T]]/(T^{k}): T + (T^{k}) ↦ T + (T^{k}) von K-Algebren.

(3) Es ist K[[T]] komplett.

(4) Es gibt einen Isomorphismus von { \atop K[T]_{(T)}} nach K[[T]], der \frac{T}{1} nach T schickt.

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