M. Künzer Abgabe bis Mi 13.12.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 7

Aufgabe 27 (1+4+1 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Zu zeigen ist, daß ein linear geordnetes Poset gerichtet ist.

(2) Sei I = Z_{⩾1} , angeordnet mit (⩽).

Sei X = { X_{i} : i ∈ Z_{⩾1} }.

Sei X_{[1,n]} := { X_{i} : i ∈ [1, n] } für x ∈ Z_{⩾1} .

Zu konstruieren ist ein Diagramm kommutativer R-Algebren auf Z_{⩾1} , welches bei n ∈ Z_{⩾1} den Eintrag R[X_{[1,n]}] hat und dessen direkter Limes zu R[X] isomorph ist.

(3) Ist der direkte Limes eines Diagramms noetherscher kommutativer R-Algebren auf einem gerichteten Quasiposet wieder noethersch?

Aufgabe 28 (3+3+3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Sei 𝔭 ∈ Spec(S). Sei k ∈ Z_{⩾0} .

(1) Zu verifizieren sind 𝔞_{𝔭} + 𝔟_{𝔭} = (𝔞 + 𝔟)_{𝔭}, 𝔞_{𝔭} ∩ 𝔟_{𝔭} = (𝔞 ∩ 𝔟)_{𝔭} und 𝔞_{𝔭} · 𝔟_{𝔭} = (𝔞 · 𝔟)_{𝔭} für 𝔞, 𝔟 ∈ Ideale(S).

(2) Zu konstruieren ist der R-Algebrenmorphismus f: S/𝔭^{k} → S_{𝔭}/𝔭_{𝔭}^{k}: s + 𝔭^{k} ↦ \frac{s}{1} + 𝔭_{𝔭}^{k}.

(3) Sei nun S eine integre Hauptidealalgebra und sei 𝔭 ≠ (0).

Zu zeigen ist, daß f ein R-Algebrenisomorphismus ist. Aufgabe 29 (8 Punkte) Folgendes ist zu zeigen oder zu widerlegen. Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra.

(1) Es ist D_{x} ∩ D_{y} = D_{xy} für x, y ∈ S.

(2) Zu 𝔭, 𝔮 ∈ Spec(S) mit 𝔭 ≠ 𝔮 gibt es x, y ∈ S mit 𝔭 ∈ D_{x}, 𝔮 ∈ D_{y} und D_{x} ∩ D_{y} = ∅.

(3) Zu 𝔭, 𝔮 ∈ Spec(S) mit 𝔭 ≠ 𝔮 gibt es ein x ∈ S mit (𝔭 ∈ D_{x} und 𝔮 ∉ D_{x}) oder (𝔮 ∈ D_{x} und 𝔭 ∉ D_{x}).

(4) Sei I eine Menge. Seien x_{i} ∈ S für i ∈ I derart gegeben, daß ⋃_{i∈I} D_{x_{i}} = Spec(S) ist.

Dann gibt es eine endliche Teilmenge J ⊆ I mit ⋃_{j∈J} D_{x_{j}} = Spec(S).

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