M. Künzer Abgabe bis Mi 06.12.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 6

Aufgabe 23 (6 Punkte) Sei I = (I, ⩽) ein Quasiposet. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Für i, j ∈ I sei i ∼ j falls i ⩽ j und j ⩽ i. Es ist (∼) eine Äquivalenzrelation.

(2) Für i ∈ I sei [i] die Äquivalenzklasse von i. Sei Ī := { [i] : i ∈ I }. Für i, j ∈ I sei [i] ⩽ [j], falls i ⩽ j. Dann ist Ī = (Ī, ⩽) ein Poset.

(3) Wir haben eine monotone Abbildung ρ: I → Ī: i ↦ [i]. Wir haben eine monotone Abbildung σ: Ī → I mit ρ ∘ σ = idĪ.

Aufgabe 24 (3 Punkte) Seien R ein kommutativer Ring. Sei S eine noethersche kommutative R-Algebra. Sei N ⊆ S eine multiplikative Teilmenge. Zu zeigen ist, daß S//N noethersch ist. Aufgabe 25 (4 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei I ein nichtleeres gerichtetes Quasiposet. Sei S := ((S_{i})_{i∈I} , (S_{j} ⟵^{u_{j,i}} S_{i})_{j, i ∈ I, j⩾i}) ein Diagramm von kommutativen R-Algebren. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei u_{j,i} injektiv für j, i ∈ I mit j ⩾ i. Dann ist ω_{i}^{S} injektiv für i ∈ I.

(2) Sei u_{j,i} surjektiv für j, i ∈ I mit j ⩾ i. Dann ist ω_{i}^{S} surjektiv für i ∈ I. Aufgabe 26 (16 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine integre R-Algebra. Sei K := Quot(S). Wir identifizieren S = λ_{S,S^{×}}(S) ⊆ K. Es heißt S eine Primfaktoralgebra über R (oder auch ein UFD), falls jedes Element in S^{×}∖U(S) als Produkt von Primelementen geschrieben werden kann. Sei S eine Primfaktoralgebra. Sei X ein einzelnes Element. Es heißt f(X) ∈ S[X]^{×} primitiv, falls es kein p ∈ S^{×} prim gibt mit f(X) ∈ p · S[X]. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Seien f(X), g(X) ∈ S[X]^{×} primitiv. Dann ist auch f(X) · g(X) primitiv.

(2) Sei p ∈ S^{×} prim. Für x ∈ K^{×} gibt es eindeutige Elemente k ∈ Z und u ∈ U(S_{(p)}) mit x = p^{k}u. Wir schreiben v_{p}(x) := k. Es ist S_{(p)}^{×} = { x ∈ K^{×} : v_{p}(x) ⩾ 0 }. Es ist S^{×} = { x ∈ K^{×} : v_{q}(x) ⩾ 0 für q ∈ S^{×} prim }. Es ist U(S) = { x ∈ K^{×} : v_{q}(x) = 0 für q ∈ S^{×} prim }.

(3) Wir setzen noch v_{p}(0) := ∞, mit der Vereinbarung z ⩽ ∞ für z ∈ Z.

Sei f(X) = ∑_{i∈[0,k]} a_{i}X^{i} ∈ K[X]^{×} gegeben. Es ist f(X) ein primitives Element von S[X]^{×} genau dann, wenn min_{i∈[0,k]} v_{q}(a_{i}) = 0 ist für q ∈ S^{×} prim.

(4) Sei f(X) ∈ K[X]^{×}. Es gibt ein t ∈ K^{×} mit t · f(X) primitiv.

(5) Sei f(X) ∈ S[X]^{×} primitiv und sei f(X) prim als Element von K[X].

Dann ist (K[X]f(X)) ∩ S[X] = S[X]f(X). Insbesondere ist f(X) prim in S[X].

(6) Sei p ∈ S^{×} prim. Dann ist p auch prim als Element in S[X].

(7) Es ist S[X] eine Primfaktoralgebra.

(8) Sei k ⩾ 1. Sei L ein Körper. Es ist L[X_{1} , …, X_{k}] eine Primfaktoralgebra über L. www.mathematik.uni-stuttgart.de/fachbereich/Kuenzer/ca17/