M. Künzer Abgabe bis Mi 29.11.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 5

Aufgabe 18 (8 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine R-Algebra. Sei S integer und eine Hauptidealalgebra. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Jedes Element x ∈ S^{×} ∖ U(S), das nicht prim ist, läßt sich als Produkt x = yz schreiben mit y, z ∈ S mit (x) ⊂ (y) und (x) ⊂ (z).

(2) Jedes Element x ∈ S^{×} ∖U(S) läßt sich als Produkt von Primelementen aus S^{×} schreiben.

(3) Seien k, ℓ ∈ Z_{⩾0} . Sei p_{i} ∈ S^{×} prim für i ∈ [1, k]. Sei q_{j} ∈ S^{×} prim für j ∈ [1, ℓ]. Sei (∏_{i∈[1,k]} p_{i}) = (∏_{j∈[1,ℓ]} q_{j}). Dann ist k = ℓ, und es gibt ein σ ∈ S_{k} mit (p_{i}) = (q_{σ(i)}) für i ∈ [1, k].

(4) Jedes Ideal in S läßt sich auch als Produkt von Primäridealen schreiben. Aufgabe 19 (3 Punkte) Seien R ein kommutativer Ring und S eine kommutative R-Algebra. Sei 𝔭 ∈ Spec(S). Zu zeigen ist, daß es folgenden R-Algebrenisomorphismus gibt.

\begin{matrix}S_{𝔭}/𝔭_{𝔭} & ↔ & Quot(S/𝔭) \\ \frac{s}{n} + 𝔭_{𝔭} & ↦ & \frac{s+𝔭}{n+𝔭} \\ \frac{s}{n} + 𝔭_{𝔭} & ↤ & \frac{s+𝔭}{n+𝔭} \end{matrix}

Aufgabe 20 (3 Punkte) Sei X ein einzelnes Element. Schreibe Q(X) := Quot(Q[X]).

(1) Man bestimme alle Q-Algebrenmorphismen von Q(X) nach Q(X). Sind alle bijektiv?

(2) Man finde Q-Algebrenisomorphismen σ und ρ von Q(X) nach Q(X) mit σ ∘ ρ ≠ ρ ∘ σ. Aufgabe 21 (8 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien S eine kommutative R-Algebra. Sei 𝔭 ∈ Spec(S). Sei x ∈ S^{×}. Folgendes ist zu zeigen oder zu widerlegen.

(1) Es ist S_{𝔭} ≄ 0.

(2) Es ist S_{x} ≄ 0.

(3) Es ist S_{𝔭} integer.

(4) Es ist S_{𝔭} genau dann ein Körper, wenn S integer und 𝔭 = (0) ist. Aufgabe 22 (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien S eine kommutative R-Algebra. Sei n ∈ Z_{⩾1} . Sei 𝔞_{i} ein Ideal in S für i ∈ [1, n]. Sei 𝔞_{i} + 𝔞_{j} = S für i, j ∈ [1, n] mit i ≠ j. Wir schreiben 𝔞 := ⋂_{i∈[1,n]} 𝔞_{i}. Zu zeigen ist die Existenz des R-Algebrenisomorphismus

\begin{matrix}S/𝔞 & → & ∏_{i∈[1,n]} S/𝔞_{i} \\ s + 𝔞 & ↦ & (s + 𝔞_{i})_{i} . \end{matrix}

www.mathematik.uni-stuttgart.de/fachbereich/Kuenzer/ca17/