M. Künzer Abgabe bis Mi 22.11.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 4

Aufgabe 14 (10 Punkte) Zu zeigen oder zu widerlegen. Sei R ein kommutativer Ring. Seien S und T kommutative R-Algebren. Sei S ⟶^{f} T ein R-Algebrenmorphismus.

(1) Ist R noethersch, dann ist auch R[X_{i} : i ∈ Z_{⩾1}] noethersch.

(2) Ist S noethersch und f surjektiv, dann ist auch T noethersch.

(3) Ist T noethersch und f injektiv, dann ist auch S noethersch.

(4) Sei f surjektiv. Die Abbildung aus Aufgabe 10 schränkt auf die jeweiligen Teilmengen der Primideale ein.

(5) Sei f surjektiv. Die Abbildung aus Aufgabe 10 schränkt auf die jeweiligen Teilmengen der maximalen Ideale ein.

Aufgabe 15 (8 Punkte) In der Situation von Aufgabe 13 wollen wir folgendes zeigen. Es ist 𝔭^{2} = (X̄) ∩ (X̄^{2}, X̄Z̄, Ȳ) eine Primärzerlegung von 𝔭^{2}. Aufgabe 16 (6 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei 𝔞 ein Ideal in S. Sei x ∈ S. Sind (𝔞 : (x)) und 𝔞 + (x) endlich erzeugt, dann auch 𝔞.

(2) Es ist S genau dann noethersch, wenn alle Primideale von S endlich erzeugt sind. Aufgabe 17 (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Sei 𝔭 ∈ Spec(S). Zu zeigen ist folgendes. Sei k ∈ Z_{⩾1} . Sei 𝔮_{i} ein Primärideal in S mit \sqrt{𝔮_{i}} = 𝔭 für i ∈ [1, k]. Dann ist auch 𝔮 := ⋂_{i∈[1,k]} 𝔮_{i} ein Primärideal in S mit \sqrt{𝔮} = 𝔭.

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