M. Künzer Abgabe bis Mi 15.11.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 3

Aufgabe 9 (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei 𝔞 ein Ideal in R. Zu zeigen ist, daß auf der abelschen Gruppe R/𝔞 mittels (r +𝔞)·(r′ +𝔞) := rr′ +𝔞 für r, r′ ∈ R die Struktur eines kommutativen Rings definiert wird. Aufgabe 10 (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien S und T kommutative R-Algebren. Sei S ⟶^{f} T ein surjektiver R-Algebrenmorphismus. Sei 𝔨 ⊆ S sein Kern. Bezeichne Ideale(S) die Menge der Ideale von S. Zu zeigen ist folgende Bijektion.

Ideale(T) ↔ { 𝔟 ∈ Ideale(S) : 𝔨 ⊆ 𝔟 ⊆ S } , 𝔠 ↦ f^{−1}(𝔠) , f(𝔠) ↤ 𝔠 . Aufgabe 11 (12 Punkte) Zu zeigen oder zu widerlegen. Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Seien 𝔞 und 𝔟 Ideale in S.

(1) Es ist Z eine Hauptidealalgebra über Z.

(2) Ist K ein Körper und X ein Element, dann ist K[X] eine Hauptidealalgebra über K.

(3) Ist R eine Hauptidealalgebra über R, dann ist R[X] eine Hauptidealalgebra über R.

(4) Es ist \sqrt{𝔞𝔟} = \sqrt{𝔞}\sqrt{𝔟}.

(5) Es ist \sqrt{𝔞 ∩ 𝔟} = \sqrt{𝔞} ∩ \sqrt{𝔟}.

(6) Es ist \sqrt{𝔞 + 𝔟} = \sqrt{𝔞} + \sqrt{𝔟}. Aufgabe 12 (4 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Zu zeigen ist die Äquivalenz der Aussagen (1) und (2).

(1) Es ist S noethersch.

(2) Jede nichtleere Teilmenge der Menge der Ideale von S hat ein maximales Element. Aufgabe 13 (12 Punkte) Sei K ein Körper. Seien X, Y, Z drei Elemente. Sei S := K[X, Y, Z]/(XY − Z^{2}). Wir schreiben ξ̄:= ξ + (XY − Z^{2}) ∈ S für ξ ∈ K[X, Y, Z]. Sei 𝔭 := (X̄, Z̄) ⊆ S. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist K[X, Y] → S: X ↦ X̄, Y ↦ Ȳ ein injektiver K-Algebrenmorphismus.

(2) Für jedes η ∈ S gibt es eindeutige Elemente f(X, Y), g(X, Y) ∈ K[X, Y] mit η = f(X̄, Ȳ) + Z̄g(X̄, Ȳ).

(3) Es ist 𝔭 ⊆ S ein Primideal.

(4) Jedes Element von 𝔭^{2} ist von der Form a(X̄, Ȳ)X̄^{2} +b(X̄, Ȳ)X̄Ȳ +c(X̄, Ȳ)X̄Z̄ für gewisse a(X, Y), b(X, Y), c(X, Y) ∈ K[X, Y]. Folglich ist jedes Element von 𝔭^{2} von der Form f(X̄, Ȳ)+Z̄ g(X̄, Ȳ) mit f(X, Y) ∈ (X^{2}, XY) ⊆ K[X, Y] und g(X, Y) ∈ (X) ⊆ K[X, Y].

(5) Es ist X̄Ȳ ∈ 𝔭^{2}, aber X̄ ∉ 𝔭^{2} und Ȳ^{n} ∉ 𝔭^{2} für alle n ∈ Z_{⩾0}.

(6) Es ist 𝔭^{2} ⊆ S nicht primär.

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