M. Künzer Abgabe bis Mi 08.11.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 2

Aufgabe 5 (1+1 Punkte) Seien R und S kommutative Ringe. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist R auf eindeutige Weise eine Z-Algebra.

(2) Es ist jeder Ringmorphismus R ^{\overline{}^{f}} S ein Z-Algebrenmorphismus. Aufgabe 6 (2+1 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Seien S und T kommutative Ringe.

Ist S ⟶^{f} T ein bijektiver Ringmorphismus, dann auch S ⟵^{f^{−}} T.

(2) Sei R ein kommutativer Ring. Seien S = (S, α) und T = (T, β) kommutative R-Algebren. Ist S ⟶^{f} T ein bijektiver R-Algebrenmorphismus, dann auch S ⟵^{f^{−}} T.

Aufgabe 7 (2+6+2+3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei I eine Menge. Sei X = { X_{i} : i ∈ I } eine Menge, wobei I → X: i ↦ X_{i} bijektiv sei. Wir schreiben die Elemente von R[X] zunächst als Koeffiziententupel (r_{e})_{e} = (r_{e})_{e∈E_{I}} mit Einträgen aus R, wobei jeweils { e ∈ E_{I} : r_{e} ≠ 0 } endlich ist. Cf. auch (4). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Für (r_{e})_{e} , (r′_{e})_{e} ∈ R[X] sind auch (r′_{e})_{e} + (r′′_{e})_{e} := (r′_{e} + r′′_{e})_{e} ∈ R[X]

und (r′_{e})_{e} · (r′′_{e})_{e} := ( ∑\begin{matrix}(e′, e′′)∈E_{I}×E_{I} \\ e′+e′′ = e \end{matrix} r′_{e′} r′′_{e′′})_{e} wieder in R[X].

(2) Es ist R[X] = (R[X], +, ·) ein kommutativer Ring.

(3) Zusammen mit R ⟶^{α_{R,X}} R[X]: r ↦ (r∂_{(0)_{i}, e})_{e} ist R[X] eine R-Algebra.

(4) Schreiben wir für j ∈ I etwas mißbräuchlich d[j] := (∂_{j,i})_{i} und X_{j} := (∂_{d[j],e})_{e}, sowie

r := α_{R,X}(r) für r ∈ R, so erhalten wir für (r_{e})_{e} ∈ R[X] die Gleichheit

(r_{e})_{e∈E_{I}} = ∑_{e = (e_{i})_{i} ∈ E_{I}} r_{e} ∏_{i∈I} X_{i}^{e_{i}} ;

Aufgabe 8 (1+3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien R-Algebren S = (S, α) und T = (T, β) gegeben. Sei S ⟶^{f} T ein R-Algebrenmorphismus. Sei 𝔟 ⊆ T ein Ideal. Sei 𝔞 := f^{−1}(𝔟) ⊆ S. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist 𝔞 ⊆ S ein Ideal.

(2) Die Abbildung

\begin{matrix}S/𝔞 & ⟶^{f̄} & T/𝔟 \\ s + 𝔞 & ↦ & f(s) + 𝔟 \end{matrix}

ist wohldefiniert und ein injektiver R-Algebrenmorphismus.

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