M. Künzer Abgabe bis Mi 14.02.18

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 14

Aufgabe 51 (4+2 Bonuspunkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Sei M′ ⟶^{i} M ⟶^{p} M′′ eine kurz exakte Sequenz von S-Moduln. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es hat genau dann M eine Kompositionsreihe, wenn M′ und M′′ Kompositionsreihen haben.

(2) Hat M eine Kompositionsreihe, dann ist ℓ(M) = ℓ(M′) + ℓ(M′′). Aufgabe 52 (2 · (3+1) Bonuspunkte) Sei R = C. Seien X, Y, Z drei Elemente.

(i) Sei S = C[X, Y]/(XY). (ii) Sei S = C[X, Y, Z]/(XYZ).

(1) Man bestimme k ∈ Z_{⩾0} und ein algebraisch unabhängiges Tupel (z_{i})_{i∈[1,k]} von Elementen von S derart, daß S ganz ist über R[z_{1}, …, z_{k}].

(2) Man bestimme Krdim(S). Aufgabe 53 (4 Bonuspunkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Sei S noethersch und artinsch. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist Spec(S) endlich. Es ist Jac(S) = \sqrt{(0)}.

(2) Sei \sqrt{(0)} = (0).

Dann ist S isomorph, als R-Algebra, zu einem direkten Produkt von Körpern.

Hinweis: Aufgabe 22. Aufgabe 54 (4 Bonuspunkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei T eine R-Algebra, nicht notwendig noethersch. Sei X ein Element. Man zeige Krdim(T) + 1 ⩽ Krdim(T [X]) ⩽ 2 Krdim(T) + 1. Hinweis: Lemma 167.

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