M. Künzer Abgabe bis Mi 07.02.18

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 13

Aufgabe 48 (6 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei n ∈ Z_{⩾1} . Sei Cramer(R) die folgende Aussage : Sei A = (a_{i,j})_{i∈[1,n], j∈[1,n]} ∈ R^{n×n} gegeben. Wir bilden A′ := ((−1)^{k+ℓ} det((a_{i,j})_{i∈[1,n]∖{k}, j∈[1,n]∖{ℓ}}))_{ℓ,k} ∈ R^{n×n}. Dann ist A′A = det(A) · E_{n}.

(1) Seien U und V kommutative Ringe. Sei g: U → V ein Ringmorphismus. Ist g surjektiv, so folgere man aus Cramer(U) die Gültigkeit von Cramer(V). Ist g injektiv, so folgere man aus Cramer(V) die Gültigkeit von Cramer(U).

(2) Man finde eine integre kommutative Z-Algebra S und einen surjektiven Morphismus f : S → R von Z-Algebren. Sei K := Quot(S).

(3) Die Gültigkeit von Cramer(K) kann aus Linearer Algebra als bekannt vorausgesetzt werden. Man folgere Cramer(S) und dann Cramer(R).

Aufgabe 49 (6 Punkte) Seien X und Y zwei Elemente. Man zeige oder widerlege folgendes. Sei K ein Körper. Sei f(X, Y) ∈ K[X, Y] gegeben mit f(x, y) = 0 für alle x, y ∈ K mit x^{2} + y^{2} = 1. Dann ist X^{2} + Y^{2} − 1 in K[X, Y] ein Teiler von f(X, Y).

(1) K = C  (2) K = F_{3}  (3) K = F_{2}

Aufgabe 50 (3+4+2+2+1 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra. Sei M ein S-Modul.

(1) Seien A ⊆ B ⊆ M Teilmoduln. Seien A′ ⊆ B′ ⊆ M Teilmoduln. Man finde Isomorphismen von S-Moduln

\frac{(B′ ∩ B) + A}{(A′ ∩ B) + A} ⟵^{∼} \frac{B ∩ B′}{(A ∩ B′) + (B ∩ A′)} ⟶^{∼} \frac{(B ∩ B′) + A′}{(A ∩ B′) + A′} .

(2) Seien Teilmodulreihen (M̃_{i})_{i∈[0,ℓ]} und (M_{i})_{i∈[0,ℓ]} von M gegeben.

Es heißt (M̃_{i})_{i∈[0,ℓ]} eine Verfeinerung von (M_{i})_{i∈[0,k]} , wenn es eine injektive monotone Abbildung f: [0, k] → [0, ℓ] gibt mit M_{i} = M̃_{f(i)} für i ∈ [0, k].

Es heißen (M_{i})_{i∈[0,k]} und (M̃_{i})_{i∈[0,ℓ]} äquivalent, wenn es eine Bijektion σ: [1, k] → [1, ℓ] gibt mit M_{i}/M_{i−1} = M̃_{σ(i)}/M̃_{σ(i)−1} für i ∈ [1, k].

Man zeige, daß zwei Teilmodulreihen von M äquivalente Verfeinerungen besitzen.

(3) Man zeige, daß zwei echte Teilmodulreihen von M äquivalente Verfeinerungen besitzen, die echte Teilmodulreihen sind.

(4) Sei (M̃_{i})_{i∈[0,ℓ]} eine Kompositionsreihe und (M_{i})_{i∈[0,k]} eine echte Teilmodulreihe von M. Man zeige, daß (M_{i})_{i∈[0,k]} eine Verfeinerung besitzt, die zu (M̃_{i})_{i∈[0,ℓ]} äquivalent ist.

Man folgere k ⩽ ℓ.

(5) Man zeige, daß zwei Kompositionsreihen von M äquivalent sind.

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