M. Künzer Abgabe bis Mi 31.01.18 Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 12

Aufgabe 45 (6 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S = (S, α) eine kommutative R-Algebra. Sei T = (T, β) eine kommutative S-Algebra. Dann ist T = (T, β ∘ α) eine kommutative R-Algebra. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Ist T endlich über S und ist S endlich über R, dann ist T endlich über R.

(2) Ist T ganz über S und ist S ganz über R, dann ist T ganz über R.

Aufgabe 46 (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S = (S, α) eine kommutative R-Algebra. Sei S endlich erzeugt als R-Algebra. Zu zeigen ist, daß genau dann S endlich über R ist, wenn S ganz über R ist.

Aufgabe 47 (2+2+3+2+4+4+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien S und T kommutative R-Algebren. Sei S ⟶^{f} T ein R-Algebrenmorphismus. Es ist T = (T, f) eine kommutative S-Algebra. Seien S-Moduln M und M′′ sowie eine S-lineare Abbildung M ⟶^{u} M′′ gegeben. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist T ⊗_{S} M ein T -Modul vermöge t′ · (∑_{i∈I} t_{i} ⊗ m_{i}) = ∑_{i∈I}(t′t_{i}) ⊗ m_{i}, wobei I eine endliche Menge ist und wobei t′ ∈ T, t_{i} ∈ T und m_{i} ∈ M für i ∈ I.

(2) Wir haben die T -lineare Abbildung T ⊗_{S} u: T ⊗_{S} M → T ⊗_{S} M′′, die t ⊗ m nach t ⊗ u(m) schickt für t ∈ T und m ∈ M.

(3) Wir haben die S-lineare Abbildung v′′: M′′ → T ⊗_{S} M′′: m′′ ↦ 1 ⊗ m′′. Sei X ein T - Modul. Wir können X via f zu einem S-Modul einschränken. Sei h: M′′ → X eine S-lineare Abbildung. Dann gibt es genau eine T -lineare Abbildung ĥ: T ⊗_{S} M′′ → X mit

ĥ ∘ v′′ = h.

(4) Ist u surjektiv, dann ist T ⊗_{S} u surjektiv.

Ist u injektiv, dann ist im allgemeinen T ⊗_{S} u nicht injektiv.

(5) Sei u surjektiv. Sei M′ := Kern(u) := u^{−1}(0). Sei i: M′ → M: m′ ↦ m′.

Es ist das Bild von T ⊗_{S} i gleich dem Kern von T ⊗_{S} u.

Sei N ⊆ S eine multiplikative Teilmenge. Sei im folgenden T = S//N und f = λ_{S,N} .

(6) Jedes Element von T ⊗_{S} M ist von der Form \frac{1}{n} ⊗ m mit n ∈ N und m ∈ M. Für n, ñ ∈ N und m, m̃ ∈ M ist genau dann \frac{1}{n} ⊗m = \frac{1}{ñ} ⊗m̃, wenn es ein x ∈ N mit xñm = xnm̃ gibt. Hinweis: Man verwende die gewünschten Eigenschaften zur Definition eines T -Moduls M//N und vergleiche diesen mit T ⊗_{S} M mittels universeller Eigenschaften.

(7) Ist u injektiv, dann ist T ⊗_{S} u injektiv.

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