M. Künzer Abgabe bis Mi 24.01.18

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 11

Aufgabe 42 (8+3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien A = (A, α) und B = (B, β) kommutative R-Algebren. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es wird der R-Modul A ⊗_{R} B zu einem kommutativen Ring vermittels

(∑_{i∈I} a_{i} ⊗ b_{i}) · (∑_{j∈J} a′_{j} ⊗ b′_{j}) := ∑_{i∈I, j∈J} a_{i}a′_{j} ⊗ b_{i}b′_{j} ,

wobei I und J endliche Mengen sind, wobei a_{i} ∈ A und b_{i} ∈ B liegen für i ∈ I und wobei a′_{j} ∈ A und b′_{j} ∈ B liegen für j ∈ J. Es wird A ⊗_{R} B zu einer kommutativen R-Algebra vermittels des Strukturmorphismus

γ: R → A ⊗_{R} B: r ↦ γ(r) := α(r) ⊗ 1 = 1 ⊗ β(r).

Die R-Modulstruktur auf A ⊗_{R} B aus Definition 120 stimmt mit der via Strukturmorphismus γ und Beispiels 112.(4) überein.

(2) Es sind κ_{1} : A → A ⊗_{R} B: a ↦ a ⊗ 1 und κ_{2} : B → A ⊗_{R} B: b ↦ 1 ⊗ b Morphismen von R-Algebren. Sei eine kommutative R-Algebra T = (T, δ) gegeben, zusammen mit R-Algebrenmor-phismen t_{1} : A → T und t_{2} : B → T. Dann gibt es genau einen R-Algebrenmorphismus t: A ⊗_{R} B → T mit t ∘ κ_{1} = t_{1} und t ∘ κ_{2} = t_{2} . Dieser erfüllt t(a ⊗ b) = t_{1}(a) · t_{2}(b) für a ∈ A und b ∈ B.

Aufgabe 43 (2+2+4+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien R-Moduln M, M′, N und N′ gegeben. Sei f: M → M′ eine R-lineare Abbildung. Sei g: N → N′ eine R-lineare Abbildung. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Wir haben die R-lineare Abbildung f ⊗ g: M ⊗_{R} N → M′ ⊗_{R} N′ mit (f ⊗ g)(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n) für m ∈ M und n ∈ N.

(2) Wir haben den Isomorphismus von R-Moduln σ: M ⊗_{R} N → N ⊗_{R} M mit σ(m⊗n) = n⊗m für m ∈ M und n ∈ N.

(3) Wir haben die R-lineare Abbildung f: (M ⊕ M′) ⊗_{R} N → (M ⊗_{R} N) ⊕ (M′ ⊗_{R} N) mit f((m, m′) ⊗ n) = (m ⊗ n, m′ ⊗ n) für m ∈ M, m′ ∈ M′ und n ∈ N. Wir haben die R-lineare Abbildung g: (M ⊗_{R} N) ⊕ (M′ ⊗_{R} N) → (M ⊕ M′) ⊗_{R} N mit g(m ⊗ n, m′ ⊗ ñ) = (m, 0) ⊗ n + (0, m′) ⊗ ñ für für m ∈ M, m′ ∈ M′ und n, ñ ∈ N. Es sind f und g sich invertierende Isomorphismen von R-Moduln.

(4) Wir haben den Isomorphismus von R-Moduln f: R ⊗_{R} M → M mit f(r ⊗ m) = rm für r ∈ R und m ∈ M.

Aufgabe 44 (10 Punkte) Folgendes ist zu zeigen oder zu widerlegen. Sei R ein kommutativer Ring. Seien R-Moduln M und N gegeben. Seien kommutative R-Algebren A = (A, α) und B = (B, β) gegeben.

(1) Ist M ≠ 0 und N ≠ 0, dann ist auch M ⊗_{R} N ≠ 0.

(2) Die Abbildung τ_{M,N} ist surjektiv.

(3) Seien X und Y Elemente. Es gibt den R-Algebrenisomorphismus

f: R[X] ⊗_{R} R[Y] ⟶^{∼} R[X, Y] mit f(X ⊗ 1) = X und f(1 ⊗ Y) = Y.

(4) Seien A und B integer. Dann ist A ⊗_{R} B eine integre R-Algebra.

(5) Wir betrachte die R-Algebrenmorphismen κ_{1} und κ_{2} aus Bemerkung 123. Sei F := { (𝔭_{1}, 𝔭_{2}) ∈ Spec(A) × Spec(B) : α^{−1}(𝔭_{1}) = β^{−1}(𝔭_{2}) } das Faserprodukt. Die Abbildung Spec(A ⊗_{R} B) → F: 𝔭 ↦ (κ_{1}^{−1}(𝔭), κ_{2}^{−1}(𝔭)) ist bijektiv.

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