M. Künzer Abgabe bis Mi 17.01.18

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 10

Aufgabe 37 (3 Punkte) Sei K ein Körper. Sei S eine kommutative K-Algebra. Sei S endlich über K. Sei (0) prim in S. Es ist (0) als maximal in S nachzuweisen.

Aufgabe 38 (4+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien R-Moduln M und T gegeben. Sei t: M → T eine R-lineare Abbildung. Sei N ⊆ M ein Teilmodul.

(1) Die abelsche Gruppe M/N wird durch r · (m + N) := (r · m) + N für r ∈ R und m ∈ M zu einem R-Modul. Wir haben die R-lineare Abbildung ρ: M → M/N: m ↦ m + N.

(2) Ist N ⊆ Kern(f), dann existiert genau eine R-lineare Abbildung t̄: M/N → T mit t̄∘ ρ = t.

Aufgabe 39 (2+4+2 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei S eine kommutative R-Algebra.

(1) Sei M′ ⟶^{i} M ⟶^{f} M′′ eine kurz exakte Sequenz von S-Moduln.

Sind M′ und M′′ endlich erzeugt, dann ist M als endlich erzeugt nachzuweisen.

(2) Sei S noethersch. Zu zeigen ist mittels Induktion, daß für jedes k ∈ Z_{⩾0} jeder S-Teilmodul U von S^{⊕k} endlich erzeugt ist.

Man betrachte hierzu die Abbildung p: S^{⊕k} → S^{⊕(k−1)} : (s_{i})_{i∈[1,k]} ↦ (s_{i})_{i∈[1,k−1]} und den Teilmodul p(U) von S^{⊕(k−1)}. Man ergänze p|_{U}^{p(U)} : U → p(U) zu einer kurz exakten Sequenz. Auf den Kern wende man die Voraussetzung an S an, auf p(U) die Induktionsvoraussetung und sodann (1).

(3) Sei S noethersch. Sei M ein endlich erzeugter S-Modul. Sei M′ ⊆ M ein Teilmodul. Zu zeigen ist, daß M′ endlich erzeugt ist.

Hierzu wende man (2) auf das Urbild U von M′ unter einer surjektiven S-linearen Abbildung S^{⊕k} → M an, mit k ∈ Z_{⩾0} geeignet.

Aufgabe 40 (1+5 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Seien R-Moduln M und N gegeben. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Jedes Element von M ⊗_{R} N ist von der Form ∑_{(m,n)∈W} m ⊗ n für eine endliche Teilmenge

W ⊆ M × N .

(2) Sei T ein R-Modul. Sei t: M × N → T eine Abbildung mit

\begin{aligned}t(rm + r′m′, n) & = & rt(m, n) + r′t(m′, n) \\ t(m, rn + r′n′) & = & rt(m, n) + r′t(m, n′) \end{aligned}

für r, r′ ∈ R, m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N.

Dann gibt es genau eine R-lineare Abbildung t̂: M ⊗_{R} N → T mit t̂∘ τ = t.

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