M. Künzer Abgabe bis Mi 25.10.17

Kommutative Algebra, WS 17/18

Blatt 1

Aufgabe 1 (2+1 Punkte)

(1) Sei R ein kommutativer Ring. Zu zeigen ist, daß U(R), zusammen mit der auf U(R) eingeschränkten Multiplikation, eine abelsche Gruppe bildet.

(2) Seien R und S kommutative Ringe. Sei R ⟶^{f} S ein Ringmorphismus.

Zu zeigen ist, daß U(f) := f|_{U(R)}^{U(S)} : U(R) → U(S) ein Gruppenmorphismus ist. Aufgabe 2 (3 Punkte) Sei R ein Integritätsbereich, welcher als Menge endlich ist. Zu zeigen ist, daß R ein Körper ist. Aufgabe 3 (6+1 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Zu zeigen ist, daß es genau einen Ringmorphismus von Z nach R gibt.

(2) Zu zeigen ist, daß es genau einen Ringmorphismus von R nach 0 gibt. Der Ringmorphismus aus (1) werde Z ⟶^{ε_{R}} R geschrieben. Oft schreiben wir z := ε_{R}(z) ∈ R für z ∈ Z. Der Ringmorphismus aus (2) werde R ⟶^{η_{R}} 0 geschrieben. Aufgabe 4 (6 Punkte) Zu zeigen oder zu widerlegen.

(1) Sei R ein kommutativer Ring. Von R nach R ist id_{R} der einzige Ringisomorphismus.

(2) Von Q nach Q ist id_{Q} der einzige Ringmorphismus.

(3) Es hat Q nur die Teilringe Z und Q.

www.mathematik.uni-stuttgart.de/fachbereich/Kuenzer/ca17/