M. Künzer Abgabe bis Fr 22.06.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 9

Aufgabe 33 (6 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(A) perfekt. Seien M|L|K endliche Körpererweiterungen. Sei B := Γ_{L}(A) und C := Γ_{M}(A). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei 𝔤 ∈ \underline{Ideale}^{×}(B). Dann ist N_{L|K}(𝔤^{−1}) = N_{L|K}(𝔤)^{−1}.

(2) Sei 𝔥 ∈ \underline{Ideale}^{×}(C). Dann ist N_{M|K}(𝔥) = N_{L|K}(N_{M|L}(𝔥)).

(3) Sei 𝔣 ∈ \underline{Ideale}^{×}(A). Dann ist N_{L|K}(𝔣B) = 𝔣^{ℓ}, wobei ℓ := [L : K].

Aufgabe 34 (4 Punkte) Zu zeige oder zu widerlegen ist folgendes. Sei A ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(A) perfekt. Seien L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei B := Γ_{L}(A).

(1) Es ist B^{#,A} das Urbild von A unter Tr_{L|K} .

(2) Für 𝔭 ∈ Ideale_{prim}^{×}(A) ist (B^{#,A})_{𝔭} = (B_{𝔭})^{#,A_{𝔭}}.

Aufgabe 35 (8 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) In Cl(O_{Q(\sqrt{−23})}) hat das Element [(2, \frac{1}{2}(1 + \sqrt{−23}))] die Ordnung 3.

(2) In Cl(O_{Q(\sqrt{−47})}) hat das Element [(2, \frac{1}{2}(1 + \sqrt{−47}))] die Ordnung 5.

Aufgabe 36 (8 Punkte) Zu zeigen oder zu widerlegen ist folgendes. Sei A ein Dedekindbereich mit K := Quot(A) perfekt. Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei B := Γ_{L}(A). Für 𝔟 ∈ Ideale^{×}(B) betrachten wir Tr_{L|K}(𝔟) = { Tr_{L|K}(b) : b ∈ 𝔟 }.

(1) Für 𝔟 ∈ Ideale^{×}(B) ist B(𝔟 ∩ A) = 𝔟.

(2) Für 𝔟, 𝔟′ ∈ Ideale^{×}(B) ist A ∩ (𝔟𝔟′) = (A ∩ 𝔟)(A ∩ 𝔟′).

(3) Für 𝔟 ∈ Ideale^{×}(B) ist Tr_{L|K}(𝔟) ∈ Ideale^{×}(A).

(4) Für 𝔥 ∈ \underline{Ideale}^{×}(B) ist Tr_{L|K}(𝔥) ∈ \underline{Ideale}^{×}(A).

Aufgabe 37 (4 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(A) perfekt. Sei 𝔭 ∈ Ideale_{prim}^{×}(A). Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei B = Γ_{L}(A). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist (𝔇_{L|K,A})_{𝔭} = 𝔇_{L|K,A_{𝔭}}.

(2) Es ist (𝔡_{L|K,A})_{𝔭} = 𝔡_{L|K,A_{𝔭}}.

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