M. Künzer Abgabe bis Fr 15.06.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 8

Aufgabe 30 (1+9+4+4 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(A). Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Sei B := Γ_{L}(A).

(1) Sei C|A eine Erweiterung kommutativer Ringe. Sei 𝔞 ⊆ A eine Teilmenge.

Sei 𝔠 ∈ Ideale(C). Man zeige 𝔞 · 𝔠 := _{Z}⟨ ac : a ∈ 𝔞, c ∈ 𝔠 ⟩ ∈ Ideale(C).

(2) Sei 𝔞 ∈ Ideale(A). Schreibe Ā := A/𝔞 und ā := a + 𝔞 ∈ Ā für a ∈ A. Sei b ∈ B. Sei μ_{b,K}(X) =: X^{n} + ∑_{i∈[0,n−1]} a_{i}X^{i}. Schreibe μ̄_{b,K}(X) := X^{n} + ∑_{i∈[0,n−1]} ā_{i}X^{i}. Zu zeigen ist folgendes.

(i) Wir haben einen Ringisomorphismus φ : A[b]/(𝔞 · A[b]) ^{\overline{}^{∼}} Ā[X]/(μ̄_{b,K}(X)) mit φ(a+(𝔞·A[b])) = ā+(μ̄_{b,K}(X)) für a ∈ A und mit φ(b+(𝔞·A[b])) = X+(μ̄_{b,K}(X)).

(ii) Sei 𝔞 ein maximales Ideal von A. Man beachte, daß nun Ā ein Körper ist. Wir schreiben μ̄_{b,K}(X) = ū_{1}(X)^{α_{1}} · ū_{2}(X)^{α_{2}} ⋯ ū_{k}(X)^{α_{k}} für ein k ⩾ 1, normierte Polynome u_{i}(X) ∈ A[X] für i ∈ [1, k], für welche ū_{i}(X) ∈ Ā[X] irreduzibel ist, wobei ū_{i}(X) ≠ ū_{j}(X) für i, j ∈ [1, k] mit i ≠ j, und für gewisse α_{i} ⩾ 1 für i ∈ [1, n]. Dann sind die maximalen Ideale über 𝔞 in A[b] gegeben durch

𝔮_{i} := (u_{i}(b)) + 𝔞A[b]

für i ∈ [1, k]. Desweiteren ist A[b]/𝔮_{i} ^{\overline{}^{∼}} Ā[X]/(ū_{i}(X)), b + 𝔮_{i} \overline{}X + (ū_{i}(X)) und also

[A[b]/𝔮_{i} : Ā] = [Ā[X]/(ū_{i}(X)) : Ā] = deg(ū_{i})

für i ∈ [1, k]. (iii) Wir behalten die Bezeichnungen aus (ii) bei. Sei zudem vorausgesetzt, daß A[b] = B

ist. Dann ist

𝔞 · A[b] = 𝔮_{1}^{α_{1}}𝔮_{2}^{α_{2}} ⋯ 𝔮_{k}^{α_{k}} .

(3) Sei d ∈ Z ∖ {0, 1} quadratfrei. Sei p ∈ Z^{×} prim. Man gebe die Primidealfaktorzerlegung von (p) ⊆ O_{Q(\sqrt{d})} an. Hierbei darf (F_{p}^{×})^{2} := \{ s^{2} : s ∈ F_{p}^{×} \} als bekannt vorausgesetzt werden. Was ergibt sich speziell für d = −1 und p ∈ {2, 3, 5}?

(4) Man finde jeweils die Primidealfaktorzerlegung von (2), (3), (5), (7) ⊆ O_{Q( \sqrt[3]{2})} .

Aufgabe 31 (2 Punkte) Man finde einen Hauptidealbereich A mit | Ideale_{prim}^{×}(A)| = 2.

Aufgabe 32 (10 Punkte) Sei D ein Dedekindbereich. Sei S ⊆ D mit 1 ∈ S und st ∈ S für s, t ∈ D gegeben; cf. Aufgabe 10. Seien 𝔤, 𝔥 ∈ \underline{Ideale}^{×}(D) gegeben. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist S^{−1}𝔤 ∈ \underline{Ideale}^{×}(S^{−1}D).

(2) Es ist S^{−1}(𝔤𝔥) = (S^{−1}𝔤)(S^{−1}𝔥) und (S^{−1}𝔤)^{−1} = S^{−1}(𝔤^{−1}).

(3) Es ist S^{−1}(𝔤 + 𝔥) = S^{−1}𝔤 + S^{−1}𝔥 und S^{−1}(𝔤 ∩ 𝔥) = S^{−1}𝔤 ∩ S^{−1}𝔥.

(4) Sei 𝔭 ∈ Ideale_{prim}^{×}(D). Es ist 𝔤_{𝔭} = (𝔭_{𝔭})^{v_{𝔭}(𝔤)}.

(5) Es ist 𝔤 = ⋂_{𝔭∈Ideale_{prim}^{×}(D)} 𝔤_{𝔭}.

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