M. Künzer Abgabe bis Fr 08.06.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 7

Aufgabe 26 (6 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei R ein kommutativer Ring. Sei n ⩾ 1. Sei 𝔞_{i} ∈ Ideale(R) für i ∈ [1, n]. Sei 𝔞_{i} + 𝔞_{j} = R für i, j ∈ [1, n] mit i ≠ j. Der Ringmorphismus R ^{\overline{}^{χ}} ∏_{i∈[1,n]} R/𝔞_{i}, r \overline{}(r + 𝔞_{i})_{i} ist surjektiv. Hierbei seien Addition und Multiplikation auf ∏_{i∈[1,n]} R/𝔞_{i} eintragsweise erklärt.

(2) Sei D ein Dedekindbereich. Sei n ⩾ 1. Seien 𝔭_{i} ∈ Ideale_{prim}^{×}(D) mit 𝔭_{i} ≠ 𝔭_{j} für i, j ∈ [1, n] mit i ≠ j, und seien k_{i} ⩾ 1 für i ∈ [1, n]. Der Ringmorphismus D ^{\overline{}^{χ}} ∏_{i∈[1,n]} D/𝔭_{i}^{k_{i}}, d \overline{}(d + 𝔭_{i})_{i} ist surjektiv.

Aufgabe 28 (8+2 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei D ein Dedekindbereich. Seien 𝔤, 𝔥 ∈ \underline{Ideale}^{×}(D).

Dann sind auch 𝔤𝔥, 𝔤 ∩ 𝔥, 𝔤 + 𝔥, 𝔤^{−1} ∈ \underline{Ideale}^{×}(D). Ist 𝔤 ⊆ D, dann ist 𝔤 ∈ Ideale^{×}(D). Sind bereits 𝔤, 𝔥 ∈ Ideale^{×}(D), dann sind auch 𝔤𝔥, 𝔤 ∩ 𝔥, 𝔤 + 𝔥 ∈ Ideale^{×}(D).

(2) Sei R ein kommutativer Ring. Sei 𝔭 ∈ Ideale_{prim}(R). Seien 𝔞, 𝔟 ∈ Ideale(R).

Es ist 𝔞𝔟 ⊆ 𝔭 genau dann, wenn 𝔞 ⊆ 𝔭 oder 𝔟 ⊆ 𝔭 ist. Aufgabe 29 (2+2+2+2+3+4+4+3 Punkte) Sei D ein Dedekindbereich. Sei K := Quot(D). Sei 𝔭 ∈ Ideale_{prim}^{×}(D). Seien 𝔤, 𝔥 ∈ \underline{Ideale}^{×}(D). Seien 𝔞, 𝔟 ∈ Ideale^{×}(D). Sei S ⊆ D^{×} mit 1 ∈ S und mit st ∈ S für s, t ∈ S.

(1) Sei k ⩾ 0. Man zeige, daß genau dann 𝔞 ⊆ 𝔭^{k} ist, wenn v_{𝔭}(𝔞) ⩾ k ist.

(2) Wir schreiben γ := v_{𝔭}(𝔤) und χ := v_{𝔭}(𝔥). Wie hängen v_{𝔭}(𝔤𝔥), v_{𝔭}(𝔤 ∩ 𝔥), v_{𝔭}(𝔤 + 𝔥), v_{𝔭}(𝔤^{−1}) von γ und χ ab?

(3) Seien x, y ∈ K^{×}. Man zeige v_{𝔭}(xy) = v_{𝔭}(x)+v_{𝔭}(y). Man zeige v_{𝔭}(x+y) ⩾ min{v_{𝔭}(x), v_{𝔭}(y)}, wobei Gleichheit gilt, falls v_{𝔭}(x) ≠ v_{𝔭}(y).

(4) Man zeige, daß genau dann 𝔞 + 𝔟 = (1) ist, wenn es kein 𝔮 ∈ Ideale_{prim}^{×}(D) gibt, das in der Primidealfaktorzerlegung von 𝔞 und von 𝔟 als Faktor auftritt.

(5) Man zeige, daß es x, y ∈ D gibt mit 𝔞 = (x, y).

(6) Sei 𝔞 + 𝔟 = (1). Man zeige, daß 𝔞𝔟 ⊕ D und 𝔞 ⊕ 𝔟 als D-Moduln isomorph sind.

(7) Man zeige, daß 𝔞 ⊕ 𝔞^{−1} und D ⊕ D als D-Moduln isomorph sind. Ist 𝔞 in eine direkte Summe von echten D-Teilmoduln zerlegbar? Wann ist 𝔞 isomorph zu D als D-Modul?

(8) Man zeige S^{−1}(𝔞𝔟) = (S^{−1}𝔞)(S^{−1}𝔟) , S^{−1}(𝔞 ∩ 𝔟) = (S^{−1}𝔞) ∩ (S^{−1}𝔟) und S^{−1}(𝔞 + 𝔟) =

(S^{−1}𝔞) + (S^{−1}𝔟) . Man zeige 𝔞_{𝔭} = (𝔭_{𝔭})^{v_{𝔭}(𝔞)}.

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