M. Künzer Abgabe bis Fr 18.05.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 5

Aufgabe 16 (3+3 Punkte) Man berechne folgende Diskriminanten.

(1) Δ_{Q(\sqrt{d})} für d ∈ Z ∖ \{0, 1\} quadratfrei.

(2) Δ_{Q(\sqrt{3},\sqrt{13})} . Aufgabe 18 (8 Punkte) Sei K|Q eine endliche Körpererweiterung. Ein Z-Gitter in K ist ein Z-Teilmodul von K von der Form _{Z}⟨\underline{y}⟩ für eine Q-lineare Basis \underline{y} von K. Eine Z-Ordnung in K ist ein Z-Gitter in K, das zudem ein Teilring ist.

(1) Zu zeigen ist folgendes. Es ist O_{K} eine Z-Ordnung in K. Jede Z-Ordnung in K liegt in O_{K} .

(2) Seien G und H zwei Z-Gitter in K mit G ⊆ H.

Man zeige, daß |H/G| endlich und gleich |G^{#}/H^{#}| ist.

(3) Sei R eine Z-Ordnung in K. Wir schreiben R = _{Z}⟨\underline{y}⟩ für eine Q-lineare Basis \underline{y} von K. Sei Δ_{K|Q, \underline{y}} quadratfrei. Man zeige R = O_{K} .

(4) Sei α ∈ C eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms X^{3} + X + 1 ∈ Q[X]. Sei K := Q(α). Man zeige O_{K} = Z[α] und berechne Δ_{K} .

Aufgabe 19 (2+4 Punkte) Wir betrachten Q(\sqrt[3]{2})|Q und schreiben δ := \sqrt[3]{2}.

(1) Man bestimme Z[δ]^{#}.

(2) Man zeige O_{Q(δ)} = Z[δ] und bestimme Δ_{Q(δ)} . Aufgabe 20 (5 Punkte) Sei K ein perfekter Körper. Seien L′|K und L′′|K linear disjunkte endliche Körpererweiterungen. Sei L|K ein Kompositum von L′|K und L′′|K, mittels φ′ : L′ \overline{}L und φ′′ : L′′ \overline{}L. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Ist L̃|K, mit φ̃′, φ̃′′, ein weiteres Kompositum von L′|K und L′′|K, dann gibt es einen eindeutigen Körpermorphismus α : L ^{\overline{}^{∼}} L̃ mit α ∘ φ′ = φ̃′ und α ∘ φ′′ = φ̃′′, und dieser ist ein Isomorphismus.

(2) Ist M|K eine endliche Körpererweiterung und sind Körpermorphismen L′ ^{\overline{}^{ψ′}} M und L′′ ^{\overline{}^{ψ′′}} M mit ψ′|_{K}^{K} = ψ′′|_{K}^{K} = id_{K} gegeben, dann gibt es einen eindeutigen Körpermorphismus β : L \overline{}M mit β ∘ φ′ = ψ′ und β ∘ φ′′ = ψ′′.

www.mathematik.uni-stuttgart.de/fachbereich/Kuenzer/az18/