M. Künzer Abgabe bis Fr 11.05.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 4

Aufgabe 14 (4+2+3 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei n ⩾ 0. Sei A ∈ Z^{n×n} mit det(A) ≠ 0. Dann ist |Z^{n×1}/AZ^{n×1}| = | det(A)|.

(2) Sei n ⩾ 0. Sei X ein endlich erzeugt freier Z-Modul mit Z-linearer Basis \underline{x} = (x_{i} : i ∈ [1, n]). Sei Y ⊆ X ein Z-Teilmodul mit Z-linearer Basis \underline{y} = (y_{j} : j ∈ [1, n]). Sei y_{j} = ∑_{i∈[1,n]} a_{i, j}x_{i} für j ∈ [1, n], wobei A := (a_{i, j})_{i, j} ∈ Z^{n×n}. Dann ist |X/Y | = | det(A)|.

(3) Sei K|Q eine endliche Körpererweiterung. Sei \underline{y} := ( y_{i} : i ∈ [1, n] ) eine Q-lineare Basis von K, die in O_{K} liegt. Sei X := _{Z}⟨\underline{y}⟩ ⊆ K. Dann ist |X^{#}/X| = |Δ_{K|Q, \underline{y}}|.

Aufgabe 15 (2^{∗}+2 Punkte) Man zeige oder widerlege. Sei L|K eine endliche Körpererweiterung mit K perfekt. Sei ℓ := [L : K]. Sei A ⊆ K ein ganzabgeschlossener Teilring mit Quot(A) = K. Sei B ⊆ Γ_{L}(A) ein Teilring. Sei \underline{g} := ( g_{i} : i ∈ [1, ℓ] ) eine K-lineare Basis von L mit B = _{A}⟨\underline{g}⟩.

(1) Ist [L : K] ungerade, dann ist det(Vand_{L|K,\underline{g}}) ∈ A.

(2) Ist L|K galoisch und [L : K] ungerade, dann ist det(Vand_{L|K,\underline{g}}) ∈ A.

Aufgabe 17 (6+3 Punkte)

(1) Sei n ⩾ 1. Man zeige, daß Q(ζ_{n})|Q galoisch ist, mit einem Gruppenisomorphismus

[figure: U(Z/(n)); ∼; Gal(Q(ζ_{n})|Q); k + (n); (ζ_{n} ↦ ζ_{n}^{k}) .]

(2) Für n ⩾ 1 sei Φ_{n}(X) := μ_{ζ_{n} , Q}(X) ∈ Z[X] das n-te Kreisteilungspolynom. Man zeige

X^{n} − 1 = ∏_{d∈Z_{⩾1}, n≡_{d}0} Φ_{d}(X) .

Aufgabe 22 (4 Punkte) Sei K|Q eine endliche Körpererweiterung. Dann ist Δ_{K} ≡_{4} 0 oder Δ_{K} ≡_{4} 1. Hinweis: Man schreibe det(Vand_{K|Q, \underline{g}}) = P − N, wobei in P die Terme aus der Leibnizformel mit positivem Vorzeichen stehen. Man zeige, daß P + N und P N in Z liegen.

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