M. Künzer Abgabe bis Fr 04.05.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 3

Aufgabe 9 (2+2 Punkte) Wir betrachten U := S_{3} ⩽ S_{4} =: G.

(1) Wieviele Teilmengen T ⊆ S_{4} gibt es mit G = ⨆_{σ∈T} σU ?

(2) Man finde unter den Teilmengen von (1) zwei, die zueinander nichtisomorphe Untergruppen von G sind.

Aufgabe 10 (6+4 Punkte) Sei A ein Integritätsbereich. Sei K := Quot(A). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei S ⊆ A mit 1 ∈ S und mit st ∈ S für s, t ∈ S gegeben. Sei 𝔞 ⊆ A ein Ideal. Sei

S^{−1}𝔞 := \{ \frac{a}{s} ∈ K : a ∈ 𝔞, s ∈ S \} ⊆ K

Es sind A ⊆ S^{−1}A ⊆ K Inklusionen von Teilringen. Für jeden kommutativen Ring B und jeden Ringmorphismus φ : A \overline{}B mit φ(S) ⊆ U(B) gibt es genau einen Ringmorphismus ψ : S^{−1}A \overline{}B mit ψ|_{A} = φ. Es ist S^{−1}𝔞 ⊆ S^{−1}A ein Ideal. Sei Ideale_{prim}^{A∖S}(A) die Menge der Primideale von A, die leeren Schnitt mit S haben. Dies gibt eine Bijektion von Ideale_{prim}^{A∖S}(A) nach Ideale_{prim}(S^{−1}A).

(2) Sei 𝔭 ⊆ A ein Primideal. Sei S := A ∖ 𝔭. Für ein Ideal 𝔞 ⊆ A setzen wir 𝔞_{𝔭} := S^{−1}𝔞. Die Primideale von A, die in 𝔭 liegen, stehen in Bijektion zu den Primidealen von A_{𝔭}. Es ist 𝔭_{𝔭} das einzige maximale Ideal in A_{𝔭}. Es ist Quot(A/𝔭) isomorph zu A_{𝔭}/𝔭_{𝔭}. Ist 𝔭 ⊆ A maximal, dann ist A/𝔭 isomorph zu A_{𝔭}/𝔭_{𝔭}.

Aufgabe 11 (2+2 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei L ein Körper. Sei A ^{\overline{}^{φ}} L die Einbettung eines Teilrings. Es gibt genau einen Körpermorphismus Quot(A) ^{\overline{}^{ψ}} L mit ψ|_{A} = φ.

(2) Sei A ein Integritätsbereich. Sei A ⊆ B ⊆ Quot(A), mit B Teilring von Quot(A). Wir haben den Isomorphismus Quot(A) \overline{}Quot(B), x/y \overline{}x/y, wobei x ∈ A und y ∈ A^{×}.

Aufgabe 13 (4+6 Punkte)

(1) Sei R ein kommutativer Ring mit 1_{R} ≠ 0_{R}. Seien k, ℓ ⩾ 0 mit R^{⊕k} ≃ R^{⊕ℓ} gegeben. Man zeige k = ℓ. Ist M ein R-Modul mit M ≃ R^{⊕k} für ein k ⩾ 0, so heißt M endlich erzeugt frei und rk_{R}(M) := k der Rang von M.

(2) Sei R ein Hauptidealbereich. Sei M ein endlich erzeugt freier R-Modul. Sei N ⊆ M ein Teilmodul. Man zeige, daß auch N ein endlich erzeugt freier R-Modul ist mit rk_{R}(N) ⩽ rk_{R}(M).

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