M. Künzer Abgabe bis Fr 27.04.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 2

Aufgabe 4 (3^{∗} Punkte) Sei p ∈ Z_{⩾3} eine Primzahl. Schreibe Z = F_{p}[T] und Q = F_{p}(T). Sei d(T) ∈ Z quadratfrei. Man gebe eine Z-lineare Basis von Γ_{Q(\sqrt{d(T)})}(Z) an. Aufgabe 5 (2+2 Punkte) Seien T |S|R Erweiterungen kommutativer Ringe. Zu zeigen ist folgendes.

(1) Ist T |S ganz und S|R ganz, dann ist auch T |R ganz.

(2) Sei A ⊆ R ein Teilring. Sei B := Γ_{S}(A). Es ist Γ_{T} (A) = Γ_{T} (B). Aufgabe 6 (2+3+3+4 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Sei R ein Hauptidealbereich. Es ist R ganzabgeschlossen.

(2) Es ist Z[i] ein Hauptidealbereich.

(3) Es ist Z[ζ_{3}] ein Hauptidealbereich.

(4) Es ist Z[\sqrt{−5}] kein Hauptidealbereich. Es ist Z[\sqrt{−5}] ganzabgeschlossen. Aufgabe 7 (3+3+1+4 Punkte) Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es ist Q(\sqrt[3]{2}, ζ_{3})|Q galoisch mit Gal(Q(\sqrt[3]{2}, ζ_{3})|Q) isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{3} . Man bestimme alle Zwischenkörper dieser Erweiterung.

(2) Es ist Q(\sqrt[3]{2}, ζ_{3}) Zerfällungskörper von Q(\sqrt[3]{2})|Q.

(3) Es ist Q(\sqrt[3]{2}, ζ_{3}) nicht Zerfällungskörper von Q(ζ_{3})|Q.

(4) Die Berechnungen von Tr_{Q( \sqrt[3]{2})|Q}(\sqrt[3]{2}) und N_{Q( \sqrt[3]{2})|Q}(\sqrt[3]{2}) jeweils einmal nach Definition und einmal unter Verwendung von Lemma 15 haben dasselbe Ergebnis.

Aufgabe 8 (2^{∗} Punkte) Sei K perfekt. Sei L|K eine endliche Erweiterung. Man zeige, daß L perfekt ist.

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