M. Künzer Abgabe bis Fr 20.07.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 13

Aufgabe 52 (8 Punkte) Sei d ∈ Z_{⩾2} quadratfrei.

(1) Man zeige, daß es genau ein u ∈ U(O_{Q(\sqrt{d})}) ∩ R_{>1} so gibt, daß für alle v ∈ U(O_{Q(\sqrt{d})}) genau ein m ∈ Z mit v ∈ {−u^{m}, +u^{m}} existiert.

(2) Man bestimme u wie in (1) für d ∈ {2, 3, 5}. Aufgabe 54 (9 Punkte) Man zeige, daß Z[ζ_{n}] ein Hauptidealbereich ist für n ∈ {5, 7, 8}. Aufgabe 57 (4+4+1 Punkte) Sei p ∈ Z_{⩾3} prim. Sei a, b ∈ Z ∖ (p). Sei a^{∗} ∈ Z mit aa^{∗} ≡_{p} 1 gegeben. Das Legendresymbol ist gegeben durch

((\frac{a}{p})) := \{ \begin{matrix}+1 & falls a + (p) ∈ (F_{p}^{×})^{2} \\ −1 & falls a + (p) ∉ (F_{p}^{×})^{2} . \end{matrix}

Sei τ := ∑_{a+(p)∈U(Z/(p))} ((\frac{a}{p}))ζ_{p}^{a}.

(1) Man zeige ((\frac{a}{p})) ≡_{p} a^{(p−1)/2}, ((\frac{a}{p}))((\frac{b}{p})) = ((\frac{ab}{p})) und ((\frac{a}{p})) = ((\frac{a^{∗}}{p} )).

(2) Man zeige τ^{2} = ((\frac{−1}{p}))p.

(3) Man zeige, daß Q( \sqrt{((\frac{−1}{p}))p}) ein Teilkörper von Q(ζ_{p}) ist. Aufgabe 58 (2+4 Punkte)

(1) Man zeige, daß Q(\sqrt{−23}) ein Teilkörper von Q(ζ_{23}) ist.

(2) Ist Z[ζ_{23}] ein Hauptidealbereich?

Hinweis: Aufgabe 49 verwenden, um Cl(O_{Q(\sqrt{−23})}) ≃ C_{3} aus Aufgabe 46.(1) zum Einsatz bringen zu können.

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