M. Künzer Abgabe bis Fr 13.07.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 12

Aufgabe 45 (2 Punkte) Sei m ⩾ 1. Seien a_{i} ∈ R_{>0} für i ∈ [1, m]. Man zeige

\frac{1}{m} ∑_{i∈[1,m]} a_{i} ⩾ ( ∏_{i∈[1,m]} a_{i})^{1/m} .

Aufgabe 46 (10 Punkte)

(1) Man zeige Cl(O_{Q(\sqrt{−23})}) ≃ C_{3} .

(2) Man zeige Cl(O_{Q(\sqrt{−47})}) ≃ C_{5} .

Aufgabe 47 (5 Punkte) Ist Z[\sqrt[3]{2}] ein Hauptidealbereich?

Aufgabe 49 (9 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K = Quot(A) perfekt. Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Schreibe ℓ := [L : K]. Sei B := Γ_{L}(A). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Es gibt den Gruppenmorphismus N_{L|K} : Cl(B) \overline{}Cl(A), [𝔥] \overline{}[N_{L|K}(𝔥)].

(2) Es gibt den Gruppenmorphismus ind_{L|K} : Cl(A) \overline{}Cl(B), [𝔤] \overline{}[B𝔤].

(3) Ist |Cl(A)| teilerfremd zu ℓ, dann ist die Abbildung ind_{L|K} aus (2) injektiv und die Abbildung N_{L|K} aus (1) surjektiv.

Aufgabe 51 (6 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Sei M′ ^{\overline{}^{i}} M ^{\overline{}^{r}} M′′ eine kurz exakte Sequenz von R-Moduln und R-linearen Abbildungen, i.e. sei i injektiv, r surjektiv und sei i(M) = Kern(r). Zu zeigen ist folgendes.

(1) Existiere eine R-lineare Abbildung M ^{\overline{}^{s}} M′′ mit r∘s = id_{M′′}. Dann gibt es eine R-lineare Abbildung M′ ^{\overline{}^{t}} M mit t ∘ i = id_{M′}, und es ist M ≃ M′ ⊕ M′′.

(2) Sei M′′ ≃ R^{⊕n} für ein n ∈ Z_{⩾0} . Dann gibt es einen R-linearen Isomorphismus M ^{\overline{}^{∼}} M′ ⊕ M′′, der m′ ∈ M′ auf i(m′) schickt.

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