M. Künzer Abgabe bis Fr 06.07.18

Algebraische Zahlentheorie, SS 18

Blatt 11

Aufgabe 41 (2 Punkte) Sei K|Q eine endliche Körpererweiterung. Man gebe die Abbildungen Tr |_{K_{R}}^{R} : K_{R} \overline{}R und N |_{K_{R}}^{R} : K_{R} \overline{}R unter Verwendung von Koeffizienten bezüglich der Orthonormalbasis aus Bemerkung 112 an. Man zeige, daß beide Abbildungen stetig sind.

Aufgabe 42 (8+4+6 Punkte) Sei A ein Dedekindbereich. Sei K = Quot(A) perfekt. Sei L|K eine endliche Körpererweiterung. Schreibe ℓ := [L : K]. Sei B := Γ_{L}(A). Sei 𝔭 ∈ Ideale_{prim}^{×}(A).

(1) Sei 𝔮 ∈ Ideale_{prim}^{×}(B) mit 𝔭 ⊆ 𝔮. Man zeige, daß 𝔭 = A ∩ 𝔮 ist und (B/𝔮)|(A/𝔭) eine endliche Körpererweiterung ist. Sei f := [B/𝔮 : A/𝔭]. Man zeige N_{L|K}(𝔮) = 𝔭^{f}.

(2) Sei 𝔭B = ∏_{i∈[1,d]} 𝔮_{i}^{e_{i}} die Primidealfaktorzerlegung in B, wobei d ⩾ 1, wobei 𝔮_{i} ∈ Ideale_{prim}^{×}(B) und e_{i} ⩾ 1 für i ∈ [1, d] und wobei 𝔮_{i} ≠ 𝔮_{j} für i, j ∈ [1, d] mit i ≠ j. Wir schreiben f_{i} := [B/𝔮_{i} : A/𝔭] für i ∈ [1, d]. Zu zeigen ist

ℓ = ∑_{i∈[1,d]} e_{i}f_{i} .

Hinweis: Man berechne N_{L|K}(𝔭B) mit (1) und alternativ mit Aufgabe 33.(3).

(3) Man bestätige die Formel aus (2) im Falle A = Z, K = Q, L = Q(\sqrt[3]{2})

für 𝔭 ∈ {(3), (5), (7)}. Cf. Aufgabe 30.(4).

Aufgabe 44 (10 Punkte)

(1) Seien m, n ∈ Z_{⩾0}. Seien u_{i} ∈ R_{>0} für i ∈ [1, n]; wir schreiben u := (u_{i})_{i∈[1,n]} . Seien v_{i} ∈ R_{>0} für i ∈ [1, m] ; wir schreiben v := (v_{i})_{i∈[1,m]} . Sei

Z_{u,v} := { (x_{1} , …, x_{n} , y_{1} , …, y_{m} , z_{1} , …, z_{m}) ∈ R^{n+2m} :
|x_{i}| ⩽ u_{i} für i ∈ [1, n], 2^{−1/2}(y_{i}^{2} + z_{i}^{2})^{1/2} ⩽ v_{i} für i ∈ [1, m] }
⊆ R^{n+2m} .

Man zeige

vol(Z_{u,v}) = 2^{n+m}π^{m}( ∏_{i∈[1,n]} u_{i})( ∏_{i∈[1,m]} v_{i}^{2}) .

(2) Sei R ∈ R_{⩾0} . Seien n, m ∈ Z_{⩾0}. Sei

M_{n,m,R} := { (x_{1} , …, x_{n} , y_{1} , …, y_{m} , z_{1} , …, z_{m}) ∈ R^{n+2m} :
( ∑_{i∈[1,n]} |x_{i}|) + 2^{1/2}( ∑_{i∈[1,m]}(y_{i}^{2} + z_{i}^{2})^{1/2}) ⩽ R }
⊆ R^{n+2m} .

Man zeige

vol(M_{n,m,R}) = 2^{n}π^{m} \frac{R^{n+2m}}{(n + 2m)!} .

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